3°. Дифференцирование и интегрирование векторных функций двух аргументов

Выше (см. п. 1° § 1) мы отмечали, что простую поверхность можно задавать при помощи векторной функции двух аргументов. Это означает, что при изучении свойств поверхностей таким функциям отводится значительная роль. Введем для векторных функций в полной аналогии со скалярными функциями двух переменных понятия предела, непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости.

Пусть векторная функция, заданная в плоской области .

Будем говорить, что функция имеет пределом вектор b при если

Обозначение:

Функция называется непрерывной в точке если

Для векторной функции вводятся понятия частных производных в точке

Если

то векторы равны соответственно

Функция называется дифференцируемой в точке если ее полное приращение

для произвольных можно, представить в виде

где вектор удовлетворяет условию

Если векторная функция дифференцируема в каждой точке области то говорят, что дифференцируема в области 2).

Главная линейная часть приращения дифференцируемой векторной функции называется ее дифференциалом — Если независимые переменные, то можно считать так что

Формула Тейлора для функции с центром разложения в точке с остаточным членом в форме Пеано может быть записана так:

где определяется равенством (2), a

Например, при получаем

Интеграл области от векторной функции можно ввести при помощи соотношения