4°. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм

Непрерывное отображение является естественным обобщением непрерывной функции.

Пусть — топологические пространства и отображение пространства в пространство

Определение. Отображение называется непрерывным в точке х из , если для любой окрестности V точки в пространстве найдется окрестность точки х, такая, что

Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке пространства .

Пример. Пусть (прямая наделена естественной топологией).

Обычное определение непрерывности функции в точке х:

для любого найдется такое, что для всякого подчиненного условию

выполняется неравенство

— равносильно данному определению (рис. 4).

Простейшим примером непрерывного отображения топологического пространства на себя является тождественное отображение:

Свойства непрерывных отображений.

1+. Отображение непрерывно тогда и только тогда когда прообраз любого множества, открытого в открыт в .

2+. Отображение непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого множества, замкнутого в замкнут в .

3+. Композиция непрерывных отображений является непрерывным отображением:

Особое значение имеют непрерывные отображения, у которых существуют и непрерывны обратные отображения.

Пусть топологические пространства и отображение обратимо, т. е. существует отображение

такое, что

Определение. Будем говорить, что топологическое пространство гомеоморфно топологическому пространству если оба отображения

непрерывны.

Обозначение: (читается: гомеоморфно В этом случае отображения называются гомеоморфными отображениями, или гомеоморфизмами (рис. 5).

Пример. Координатное пространство гомеоморфно открытому шару .

Соответствующие гомеоморфизмы задаются так: отображение

формулой

или, подробнее,

Рис. 5. Квадрат гомеоморфен окружности

Рис. 6. Открытый круг на плоскости можно представить в виде объединения бесконечного числа прямоугольников со сторонами, параллельными координатным осям, — произведений интервалов (открытых множеств из и из

отображение

формулой

или, подробнее,