11°. Средняя и гауссова кривизны

При изучении свойств регулярных поверхностей широко используются понятия средней кривизны поверхности и гауссовой кривизны.

Пусть главные кривизны регулярной поверхности в данной точке.

Средней кривизной Я поверхности в данной точке называется полусумма ее главных кривизн

Гауссовой кривизной К поверхности называется произведение ее главных кривизн

Поскольку главные кривизны поверхности удовлетворяют соотношению

то, используя свойства корней квадратного уравнения, получаем для средней кривизны Н и гауссовой кривизны К следующие формулы:

Укажем некоторые свойства средней и гауссовой кривизн поверхности.

Из формулы Эйлера (30) вытекает, что

и

(соотношения в определенной степени оправдывают название .

Из формулы (34) видно, что знак гауссовой кривизны К совпадает с дискриминантом второй квадратичной формы. Поэтому