6°. Поверхности постоянной кривизны

Проведем через произвольную точку X регулярной поверхности геодезическую и построим в некоторой окрестности точки X полугеодезическую систему координат с базой

Как показано в пункте 3°, в этих координатах первую квадратичную форму поверхности в окрестности можно привести к следующему виду:

где

При такой параметризации гауссову кривизну К поверхности можно вычислить по формуле

(см. формулу (19) пункта 2° § 5).

Таким образом, функция В должна удовлетворять дифференциальному уравнению

Выясним, какой вид имеет коэффициент первой квадратичной формы поверхности в случае, когда ее кривизна постоянна.

Для этого нужно проинтегрировать уравнение (12) при начальных условиях (10).

Рассмотрим все три возможности.

Тогда и функция В тождественно равна единице. Первая квадратичная форма имеет вид

Решением уравнения

с начальными условиями (10) является функция Тем самым первая квадратичная форма запишется в виде

Решая уравнение

при условиях (10), получаем, что и

Полученные результаты можно сформулировать следующим образом.

Так как вид первой квадратичной формы поверхности постоянной гауссовой кривизны зависит только от того значения, которое эта кривизна принимает, и не зависит от вида самой поверхности, то все поверхности заданной постоянной гауссовой кривизны локально изометричны.

В частности, все поверхности нулевой кривизны локально изометричны - плоскости, поверхности постоянной положительной кривизны локально изометричны сфере радиуса поверхности постоянной отрицательной кривизны локально изометричны псевдосфере «псевдорадиуса» (рис. 56).

Рис. 56. На рисунках изображены изометричиые поверхности: а — нулевой кривизны; б - положительной кривизны; в — отрицательной кривизны