3°. Тензор Римана-Крнстоффеля типа (1 3)
Построим при промощи введенной операции ковариантного» дифференцирования один важный геометрический объект — специальный тензор ранга 4.
Пусть 
векторное поле. Вычислим его вторую ковариантную производную 
Пользуясь правилами 
получим
Переставляя индексы 
местами, найдем выражения для производной 
и составим разность:
Учитывая симметричность коэффициентов 
по нижним индексам, после несложных преобразований получим:
Введем следующее обозначение: 
Тогда предыдущую формулу можно записать так:
УТВЕРЖДЕНИЕ. 
- тензор типа 
Согласно определению операции ковариантного дифференцирования левая часть равенства (9) представляет собой тензор типа 
Обозначим его через 
Тем самым
и в новых координатах 
Из того, что 
- тензор типа 
получаем
Преобразуем последнее равенство, пользуясь формулой
Имеем
Отсюда вытекает, что
Полученная формула справедлива для любого векторного поля 
значит, представляет собой тождество.
В силу произвольности поля 
имеет место следующее равенство:
Умножим обе части на 
просуммировав по 
получим
Перенесем вычитаемое в правую часть:
Найденная формула показывает, что 
действительно является тензором типа 
Укажем простейшие свойства тензора 
вытекающие непосредственно из его определения (8):
