3°. Тензор Римана-Крнстоффеля типа (1 3)

Построим при промощи введенной операции ковариантного» дифференцирования один важный геометрический объект — специальный тензор ранга 4.

Пусть векторное поле. Вычислим его вторую ковариантную производную Пользуясь правилами получим

Переставляя индексы местами, найдем выражения для производной и составим разность:

Учитывая симметричность коэффициентов по нижним индексам, после несложных преобразований получим:

Введем следующее обозначение:

Тогда предыдущую формулу можно записать так:

УТВЕРЖДЕНИЕ. - тензор типа

Согласно определению операции ковариантного дифференцирования левая часть равенства (9) представляет собой тензор типа Обозначим его через

Тем самым

и в новых координатах

Из того, что - тензор типа получаем

Преобразуем последнее равенство, пользуясь формулой

Имеем

Отсюда вытекает, что

Полученная формула справедлива для любого векторного поля значит, представляет собой тождество.

В силу произвольности поля имеет место следующее равенство:

Умножим обе части на просуммировав по получим

Перенесем вычитаемое в правую часть:

Найденная формула показывает, что действительно является тензором типа

Укажем простейшие свойства тензора вытекающие непосредственно из его определения (8):