3°. Тензор Римана-Крнстоффеля типа (1 3)
Построим при промощи введенной операции ковариантного» дифференцирования один важный геометрический объект — специальный тензор ранга 4.
Пусть
векторное поле. Вычислим его вторую ковариантную производную
Пользуясь правилами
получим
Переставляя индексы
местами, найдем выражения для производной
и составим разность:
Учитывая симметричность коэффициентов
по нижним индексам, после несложных преобразований получим:
Введем следующее обозначение:
Тогда предыдущую формулу можно записать так:
УТВЕРЖДЕНИЕ.
- тензор типа
Согласно определению операции ковариантного дифференцирования левая часть равенства (9) представляет собой тензор типа
Обозначим его через
Тем самым
и в новых координатах
Из того, что
- тензор типа
получаем
Преобразуем последнее равенство, пользуясь формулой
Имеем
Отсюда вытекает, что
Полученная формула справедлива для любого векторного поля
значит, представляет собой тождество.
В силу произвольности поля
имеет место следующее равенство:
Умножим обе части на
просуммировав по
получим
Перенесем вычитаемое в правую часть:
Найденная формула показывает, что
действительно является тензором типа
Укажем простейшие свойства тензора
вытекающие непосредственно из его определения (8):