3°. Параллельный перенос векторов в римановом пространстве

Рассмотрим в пространстве кривую соединяющую точки и заданную параметрическими уравнениями

Пусть в точке пространства задан вектор Определим операцию параллельного переноса этого вектора в пространстве вдоль кривой

В основу этого определения можно положить следующие геометрические соображения.

В § 2 этой главы мы уже отмечали, что в окрестности точки риманово пространство отличается от касательного к нему в этой точке евклидова пространства на малые второго порядка (относительно размеров рассматриваемой окрестности). Это обстоятельство наводит на мысль о том, что малый параллельный перенос вектора по направлению в пространстве можно рассматривать так же, как параллельный перенос вектора в этом же направлении в пространстве (Упорядоченный набор дифференциалов координат вектор, тензор типа пространстве при переходе к новым координатам эти дифференциалы преобразуются по тем же формулам (11), что и векторы в или в

Иными словами, уравнения (6) можно рассматривать не только как уравнения параллельного переноса в пространстве но и как уравнения параллельного переноса вдоль кривой (13) в римановом пространстве

Отметим, что ряд дальнейших рассуждений подтверждает правильность такого геометрического подхода к определению параллельного переноса в римановом пространстве.

Определение. Уравнения

называются уравнениями параллельного переноса вектора в римановом пространстве

Эти уравнения представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых неизвестными являются координаты вектора , параллельно переносимого вдоль кривой заданной в пространстве параметрическими уравнениями (13).