§ 2. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

1°. Касательное пространство

Условия регулярности. Рассмотрим в области поле тензора Каждая компонента этого поля представляет собой функцию точки Потребуем, чтобы в области функции в данной системе координат имели непрерывные первые и вторые производные:

При переходе в области от координат к координатам посредством преобразований

функции

перейдут в функции

Будем считать выполненными следующие условия:

1) функции (1) имеют в области изменения переменных непрерывные третьи частные производные по всем аргументам;

2) якобиан

отображения, задаваемого правилом (1), отличен от нуля во всех точках области изменения переменных

3) отображение (1) обратимо.

Тогда, как известно из курса математического анализа, функции также будут обладать непрерывными вторыми. частными производными по всем аргументам.

Перейдем к определению касательного пространства.

Пусть некоторая точка риманова пространства с метрическим тензором Разложим каждую компоненту метрического тензора, пользуясь формулой Тейлора с центром в точке Получим

где

при

Определение. Евклидово пространство с линейным элементом

называется касательным евклидовым пространством в точке риманова пространства

Запишем выражение для линейного элемента

пользуясь формулами (2) и (3). Получим

Из формулы (4) видно, что метрика пространства в окрестности точки и метрика касательного пространства в окрестности точки разнятся на малые первого порядка относительно Это объясняет термин «касательное пространство».