СВОДКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ, ФОРМУЛ, ФАКТОВ

А. Открытой картой хаусдорфова топологического пространства называется пара где открытое подмножество пространства гомеоморфизм подмножества на открытое подмножество координатного пространства каждой точке ставится в соответствие набор из чисел, ее локальных координат.

Хаусдорфово топологическое пространство называется -мерным топологическим многообразием, если найдется, конечный или счетный, набор открытых карт такой, что

1) является открытым подмножеством пространства для любого а;

Этот набор карт называется атласом топологического многообразия

Б. Говорят, что -мерное топологическое многообразие имеет гладкую структуру, если существует атлас многообразия, обладающий следующими двумя свойствами:

1) для любых двух карт и из этого атласа координатное преобразование

является гладким (принадлежит классу

2) этот атлас максимален.

-мерное топологическое многообразие, имеющее гладкую структуру, называется -мерным гладким многообразием (многообразием класса

(Карта из атласа гладкого многообразия называется локальной картой на многообразии или локальной системой координат на

В. Функция заданная на гладком многообразии называется гладкой (принадлежащей классу если для любой точки можно указать локальную карту такую, что и функция имеет на открытом подмножестве пространства непрерывные частные производные всех порядков.

Функция называется гладкой в точке если существует открытая окрестность точки в которой функция является гладкой.

Г. Носителем гладкой функции заданной на гладком многообразии называется замыкание множества точек многообразия в которых эта функция отлична от нуля.

Д. Пусть гладкое многообразие и его атлас. Тогда существует гладкое разбиение единицы, подчиненное покрытию т. е. найдется набор гладких функций обладающих следующими свойствами:

Е. Касательным вектором в точке гладкого многообразия называется правило которое каждой функции ставит в соответствие число и подчиняется следующим условиям:

Ж. Множество всех касательных векторов в точке многообразия на котором определены операции сложения и умножения на число, называется касательным пространством гладкого многообразия в точке Размерность касательного пространства совпадает с размерностью многообразия

3. Отображение гладкого -мерного многообразия в гладкое -мерное многообразие называется гладким в точке если существуют локальная карта многообразия и локальная карта многообразия N, такие, что отображение

является гладким (бесконечно дифференцируемым).

Отображение называется гладким, если оно является гладким в каждой точке многообразия

И. Гладкое отображение называется диффеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение также является гладким.

К. Многообразие называется диффеоморфным многообразию если существует диффеоморфизм В этом случае

Л. Дифференциалом гладкого отображения (касательным. отображением) в точке называется отображение

определяемое по правилу где

— произвольная гладкая функция.

М. Рангом гладкого отображения в точке называется размерность образа касательного пространства при касательном отображении

Н. Непустое подмножество -мерного гладкого многообразия называется его -мерным гладким подмногообразием, если для каждой точки существует локальная карта такая, что

О. Пусть гладкое отображение, полный прообраз точки непуст и в каждой точке Тогда является гладким подмногообразием многообразия его размерность равна

П. Тензорным полем типа на гладком многообразии называется правило, которое с каждой точкой связывает тензор типа заданный в касательном пространстве

Тензорное поле называется гладким, если его компоненты принадлежат классу для любой точки

Р. На всяком гладком многообразии можно задать риманову метрику — гладкое тензорное поле типа компоненты которого симметричны, и квадратичная форма положительно определена.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)