9°. Асимптотические линии

Кривая на поверхности называется асимптотической линией, если в каждой своей точке она имеет асимптотическое направление.

Пусть направление кривой на поверхности в ее текущей точке

Необходимым и достаточным условием того, чтобы рассматриваемая кривая была асимптотической линией, является равенство

Отсюда следует, что соотношение

является дифференциальным уравнением асимптотических линий.

Покажем, что в окрестности гиперболической точки поверхности всегда можно ввести параметризацию, при которой координатные линии являются асимптотическими линиями.

Вследствие того что в гиперболической точке выполняется условие уравнение (29) можно свести к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка, интегральными линиями которой и будут искомые координатные линии, т. е. асимптотические.

Выясним, какой вид принимает вторая квадратичная форма в точке, координатные линии в которой имеют асимптотические направления.

Из того, что направления асимптотические, вытекает, что Поэтому

Свойства асимптотических линий.

1+. Если на поверхности расположена прямая, то она непременно является асимптотической линией.

Это вытекает из того факта, что нормальное сечение поверхности в направлении, задаваемом этой прямой, совпадает с ней самой.

2+. Касательная плоскость поверхности в каждой точке асимптотической линии является ее соприкасающейся плоскостью.

Возможны два случая.

а) Кривизна асимптотической линии в точке X отлична от нуля.

Тогда касательная плоскость поверхности в этой точке параллельна векторам (последнему в силу равенства

б) Если кривизна кривой в точке X равна нулю, то указанное свойство остается справедливым вследствие того, что в этом случае всякая плоскость, содержащая касательную к кривой (а значит, и касательная плоскость является соприкасающейся плоскостью кривой 2.