4°. Площадь поверхности

Пусть поверхность определяется радиус-вектором

причем параметры изменяются в области плоскости .

Разобьем область на части прямыми линиями параллельными координатным осям соответственно (рис. 19). Ясно, что линиями и будет разбита на части и поверхность Выделим в области произвольный четырехугольник На поверхности ему отвечает криволинейный четырехугольник Последний мало отличается от

Рис. 19. Разбиению области изменения параметров соответствует разбиение поверхности

параллелограмма со сторонами, определяемыми векторами

Этот параллелограмм лежит в касательной плоскости к поверхности в точке Его площадь равна

Возьмем за приближенное значение площади криволинейного четырехугольника площадь параллелограмма а за приближенное значение площади поверхности сумму

всех таких параллелограммов.

Естественно определить площадь поверхности как предел а сумм при стремлении к нулю величин

При условии непрерывности производных этот предел существует и равен

Итак, по определению площадь а поверхности равна

Запишем формулу (7) в несколько ином виде. Воспользуемся «следующими преобразованиями:

Так как то окончательно получим

Поэтому формулу (7) можно записать так:

Рассмотрим случай, когда поверхность представляет собой график функции заданной в области (рис. 20). Положим Радиус-вектор поверхности имеет вид

Рис. 20. Вычисление площади графика функции

Рис. 21. Вычисление площади сферы

Отсюда

Поэтому площадь поверхности графика функции можно вычислять по формуле

Пример. Вычислим площадь сферы радиуса (рис. 21). Параметрические уравнения сферы имеют следующий вид:

Путем простых вычислений найдем