2°. Геодезические линии

Кривую на поверхности называют геодезической линией, если геодезическая кривизна этой кривой обращается в нуль в каждой ее точке.

ТЕОРЕМА 5. Кривая на поверхности является геодезической в том и только в том случае, когда главная нормаль в каждой точке кривой где ее кривизна отлична от нуля, совпадает с нормалью к поверхности в этой точке.

В самом деле, из формулы

для геодезической кривизны кривой вытекает, что в предположении

имеем

Так как векторы кроме того, ортогональны вектору то отсюда заключаем, что эти векторы коллинеарны.

Обратное очевидно.

ТЕОРЕМА 6. Через любую точку регулярной поверхности во всяком направлении проходит геодезическая, и притом ровно одна.

Существование. Выберем в произвольной точке на поверхности некоторое направление

Пусть

решение системы дифференциальных уравнений

где функции определяются по формулам (5), удовлетворяющее начальным условиям

Кривая на поверхности задаваемая уравнениями

имеет нулевую геодезическую кривизну, так как

Это означает, что кривая является геодезической.

Таким образом, геодезическая на поверхности, проходящая через заданную точку в произвольном направлении построена.

Перейдем к доказательству единственности (рис. 47).

Рис. 47. Направлению на плоскости изменения параметров соответствует направление на поверхности

Допустим, что через точку в направлении на поверхности проходят две геодезические

Без ограничения общности можно считать, что Это позволяет выбрать координату и за новый параметр и перейти к иному заданию кривых и

При этом будут выполняться соотношения

Приравнивая геодезическую кривизну кривой к нулю, получим, что

Легко видеть, что функции

являются решениями одного и того же дифференциального уравнения

при одинаковых начальных условиях и, значит, тождественно равны:

Таким образом, в некоторой окрестности точки кривые совпадают.

Из приведенных рассуждений вытекает, что кривые и совпадают всюду.

Пример 1. Прямые линии и только они являются геодезическими на плоскости.

Пример 2. Окружности больших кругов (большие окружности) и только они являются геодезическими на сфере (рис. 48).

Рис. 48. Большие окружности — геодезические на сфере

В этом можно убедиться как непосредственными вычислениями, так и путем следующих рассуждений.

Большая окружность является геодезической, так как ее кривизна, обратная радиусу сферы, в каждой точке отлична от нуля, а главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности. Из того, что большую окружность можно провести через каждую точку во всяком направлении, в силу доказанной выше единственности заключаем, что других геодезических на сфере нет.