2°. Дифференциал гладкого отображения

Пусть и гладкие многообразия и гладкое отображение. Пусть далее точка из соответствующая ей по отображению точка из

Рассмотрим касательные пространства и Поставим каждому касательному вектору в соответствие касательный вектор по следующему правилу:

где произвольная гладкая функция.

Покажем, что определяемый соотношением (1), действительно является касательным вектором из

Пусть Тогда

Тем самым построено отображение касательного пространства в касательное пространство

Это отображение называется дифференциалом отображения или касательным отображением (рис. 29)

Рис. 29. Касательное отображение

Свойства касательного отображения.

1+. Касательное отображение линейно.

Пусть

Из определения суммы касательных векторов вытекает, что

Тем самым

Аналогично доказывается, что

2+. Пусть и локальные карты многообразий соответственно и

— базисы касательных пространств и

В локальных координатах отображение описывается набором функций

Если касательный вектор имеет координаты а касательный вектор соответствующий ему, — координаты то соотношение (1) можно записать так:

3+. Пусть тождественное отображение. Тогда касательное отображение

также является тождественным.

Имеем

4+. Пусть гладкие многообразия, и гладкие отображения,

Тогда

Пусть Из определения касательного отображения вытекает, что для любого из

Отсюда в силу произвольности получаем требуемое.

5+. Пусть диффеоморфизм.

Тогда

— изоморфизм касательных пространств и

Пользуясь свойствами 3+ и 4+, получаем, что

Так как размерность гладкого многообразия совпадает с размерностью касательного пространства то из свойства вытекает, что размерности диффеоморфных пространств равны.