4°. Каноническое разложение метрического тензора

Выбор в римановом пространстве координат, нормальных в данной точке удобен тем, что в малой окрестности этой точки метрика пространства отличается от метрики касательного пространства на малые второго порядка относительно Естественно возникает вопрос: нельзя ли выбрать координатную систему так, чтобы метрики пространств отличались на малые более высокого порядка относительно (выше второго)?

Оказывается, в общем случае такой выбор невозможен.

Покажем, что является препятствием к этому.

Естественно ограничиться рассмотрением координатных систем, нормальных в точке так как только в них

Если бы координатная система с искомым свойством нашлась, то тогда, согласно разложению (17), в точке имели бы место равенства

Согласно формуле (19) пункта 5 § 9 главы 3 все компоненты тензора Римана-Кристоффеля в точке обращались бы в нуль. Однако легко привести примеры римановых пространств, для которых этот тензор не равен нулю. В частности, тензор Римана-Кристоффеля пространства Лобачевского не равен нулю ни в одной точке.

Приведенные рассуждения наводят на мысль о том, что в некоторых координатных системах, определенным образом связанных с заданной точкой разложение компонент метрического тензора пространства по формуле Тейлора должно иметь специальный, канонический вид, в котором члены второго порядка малости относительно должны быть как-то связаны с компонентами тензора Римана-Кристоффеля в точке .

ТЕОРЕМА 2. Пусть произвольное риманово пространство и заданная точка пространства Тогда существует координатная система нормальная в точке и такая, что разложение компонент метрического тензора пространства по формуле Тейлора с центром в точке имеет следующий вид:

где -компоненты тензора Римана-Кристоффеля, вычисленные в точке :

Пусть нормальные координаты в точке Покажем, как малым изменением координат перейти к новым нормальным в точке координатам , в которых справедливо каноническое разложение вида (18).

Обратимся к формулам (10) пункта 2 § 8 главы 3, записав их применительно к используемым здесь обозначениям. Имеем

где

Убедимся в том, что система координат также является нормальной в точке

Достаточно показать, что

Рассмотрим тождества

Так как система координат нормальна в точке то

Непосредственными вычислениями несложно убедиться в справедливости равенств

Рассматривая теперь соотношения (22) в точке получаем формулы (21).

В 2° § 8 главы 3 было показано, что преобразование координат (19) обеспечивает выполнение равенств

Кроме того, из формул (21) вытекает, что в точке все символы Кристоффеля равны нулю:

Вычислим в точке компоненты тензора Римана—Кристоффеля:

(см. формулу (8) пункта 3 § 9 главы 3).

В силу условия (24) получаем, что

Переставляя в последней формуле индексы местами, найдем

Распишем соотношение (23) подробно:

(см. формулу

Складывая последние три равенства и учитывая симметричность символов получаем важную формулу

Умножим обе части равенства (28) на просуммировав по с учетом формулы (13) пункта 5 § 9 главы 3 получим

Чтобы преобразовать левую часть соотношения (29), рассмотрим тождество

где

Заменим в формуле (30) символ его выражением

и проведем необходимые дифференцирования.

Отнеся полученное соотношение к точке и учитывая равенства (21), найдем для формулы (29) следующее выражение:

Здесь использовано удобное обозначение

Меняя в равенстве (31) индексы местами и учитывая свойство симметричности тензора

(см. пункт 5° § 9 главы 3), получим

Обратившись к формуле (19) пункта 5 § 9 главы 3, запишем в точке выражения для компонент и

Сложив эти равенства, сгруппируем нужным образом производные в правой части. Имеем

Отсюда с учетом формул (31) и (32) получаем

Теперь уже нетрудно увидеть, что

Так как построенная координатная система является нормальной в точке то для компонент метрического тензора

работает формула (17). Запишем эту формулу в удобном для нас виде:

Подставим сюда выражение (33) для производных Получим

Так как

то окончательно имеем

ВАЖНЫЙ ВЫВОД. Характерным свойством евклидова пространства является наличие такой системы координат, относительно которой метрический тензор в каждой точке равен проведенных рассуждений следует, что если тензор не нулевой, то в римановом пространстве нельзя найти систему координат, в которой его метрический тензор был бы равен Более того, только что доказанная формула (18) канонического представления метрического тензора показывает, что тензор можно рассматривать как меру отклонения риманова пространства от евклидова Поэтому обычно говорят, что тензор Римана-Кристоффеля характеризует искривленность риманова пространства, и называют его тензором кривизны.