3°. Локально простая поверхность

Пусть множество точек евклидова пространства точкй из

Окрестностью точки X на множестве будем называть пересечение (общую часть) множества и открытого шара с центром в точке X (рис. 6).

Определение. Связное множество в пространстве называется локально-простой поверхностью, если у каждой точки этого множества есть окрестность, представляющая собой простую поверхность.

Пример. Сфера — локально-простая поверхность: малая окрестность каждой точки сферы является графиком непрерывной функции (в подходящей системе координат) и поэтому представляет собой простую поверхность. Однако вся сфера простой поверхностью не является (рис. 7).

Рис. 6. Окрестность точки X на множестве отмечена штрихами

Рис. 7. У каждой точки сферы можно указать окрестность, которая является графиком непрерывной функции

Приведем еще один пример локально-простой поверхности. Множество точек, которое заметает окружность при своем вращении вокруг оси, лежащей в плоскости окружности и не имеющей с ней общих точек, называется тором. Тор — локальнопростая поверхность, так как малая окрестность любой точки тора является графиком непрерывной функции (рис. 8—10).