§ 4. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
1°. Определение второй квадратичной формы
Основным объектом наших рассмотрений в этом параграфе будет 
-регулярная поверхность 
заданная радиус-вектором
В каждой точке такой поверхности помимо единичного вектора нормали
определен и второй дифференциал радиус-вектора
Второй квадратичной формой поверхности 
называется скалярное произвгдение векторов 
Нетрудно видеть, что в каждой точке поверхности 
форма (3) является квадратичной формой относительно дифференциалов 
Для коэффициентов второй квадратичной формы приняты обозначения
что позволяет записать ее в следующем виде:
Укажем еще несколько способов вычисления коэффициентов 
второй квадратичной формы поверхности.
Заменяя в формулах (4) единичный вектор нормали 
его выражением (1), получим, что
(здесь использовано тождество
Так как векторы 
ортогональны (первый лежит в касательной плоскости поверхности, а второй — вектор нормали) —
то
Отсюда вытекает равенство
которое дает еще один способ представления второй квадратичной формы:
Отсюда же можно получить новые формулы для вычисления коэффициентов 
Впрочем, удобнее продифференцировать по 
и по 
очевидные равенства
Воспользовавшись соотношениями (4), получаем, что
Покажем, что вторая квадратичная форма является весьма эффективным средством исследования геометрических свойств регулярной поверхности.
