7°. Тензор Римана-Кристоффеля
А. Тензор типа 
При помощи символов Кристоффеля можно построить тензор 
типа 
компоненты которого вычисляются по следующему правилу:
Б. Тензор типа Положим
Тогда справедлива следующая формула:
Компоненты тензора Римана-Кристоффеля обладают следующими легко проверяемыми свойствами:
Введем еще два геометрических объекта, определяемых метрическим тензором 
и тензором Римана-Кристоффеля 
. Определение. Тензор типа с компонентами
называется тензором Риччи.
Легко видеть, что тензор Риччи симметричен.
Определение. Полная свертка тензора Риччи с контравариантным метрическим тензором
называется скалярной кривизной.
Согласно факту, отмеченному в пункте 6°, в окрестности произвольно взятой точки 
можно указать такую координатную систему 
что в точке 
В такой системе координат компоненты тензора Римана-Кристоффеля в точке 
вычисляются по следующей формуле:
УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
