Для произвольной параметризации
Пусть параметр — длина дуги 
Тогда 
(см. замечание пункта 2° § 3). Поэтому
Отсюда получаем, что
Перейдем в последнем равенстве к пределу при 
Так как и 
то предел левой части существует и равен 
Значит, существует и предел правой части 
Таким образом, кривая L имеет в точке 
кривизну, и формула (1) обоснована.
Вспоминая, что
(см. формулу (6) пункта 2° § 3), для произвольной параметризации имеем
Дифференцируя 
еще раз 
получим, что
Возведем обе части последнего равенства в квадрат. Учитывая ортогональность векторов 
и 
и равенства
приходим к соотношению откуда
откуда
После извлечения квадратного корня получаем формулу (2).
Замечание 
Если векторы 
неколлинеарны, то, как видно из формул (1) и 
И наоборот, если 
, то векторы 
неколлинеарны.
Кривизна плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями 
вычисляется по формуле
Кривизна графика функции 
может быть найдена по формуле
Замечание 2. Иногда кривизне плоской кривой приписывают знак. Обычно его связывают с направлением вращения касательной к кривой по отношению к оси 
если это вращение против часовой стрелки, то 
если по часовой стрелке, то 
При таком подходе знак кривизны кривой — графика функции 
— совпадает со знаком второй производной 
Поэтому
Непосредственными вычислениями можно показать, что кривизна прямой равна нулю, а кривизна окружности радиуса 
равна 
Верно и обратное: если кривизна кривой равна нулю, то эта кривая есть связное множество на прямой, а если кривизна плоской кривой равна положительной постоянной а, то эта кривая — дуга окружности радиуса 
кривой L в точке 
называется предел отношения 
при 
где 
— наименьший из углов между касательными к кривой L в точках 
длина дуги 
(рис. 19).
и 
треугольника 
равны единице, длина основания 
равна 
называют первой кривизной кривой.
вектор кривой 
точка кривой 
отвечающая значению 
параметра. Тогда если 
и существует 
то кривая L имеет в точке 
кривизну 
Если параметр — длина дуги 
то
