§ 3. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ

1°. Определение и основные свойства

Пусть простая кривая, ее радиус-вектор.

Разобьем сегмент на части точками

Отметим на кривой L точки отвечающие значениям и построим ломаную вписанную в кривую L (рис. 12).

Рис. 12. Ломаная правильно вписана в кривую L

Рис. 13. Всякую ломаную, правильно вписанную в простую кривую можно достроить до ломаной, вписанной в кривую L

Определение. Кривая L называется спрямляемой, если множество длин всевозможных ломаных, вписанных в простую кривую L указанным выше способом, ограничено. Точная верхняя грань этого множества называется длиной дуги кривой L или просто длиной кривой

Свойства длины дуги кривой.

Если простая кривая L является частью спрямляемой простой кривой то кривая L также спрямляема.

Всякая ломаная, вписанная в является частью ломаной, вписанной в L (рис. 13). Поэтому множество длин ломаных, вписанных в кривую ограничено, т. е. кривая L спрямляема.

Ясно, что длина дуги кривой L меньше длины дуги кривой

Если простая кривая разбита точкой на спрямляемые части то кривая L спрямляема и для длин дуг кривых выполняется соотношение

Рассмотрим произвольную ломаную, вписанную в кривую L (рис. 14). Добавим к ее вершинам точку Получим новую ломаную, длина которой больше длины исходной ломаной и равна сумме длин ломаных, вписанных в кривые Отсюда следует, что множество длин ломаных, вписанных в кривую ограничено сверху числом Так как мы всегда можем выбрать вписанную в кривую L и содержащую вершину ломаную так, что ее длина будет отличаться от меньше чем на заданную положительную величину, то -точная верхняя грань длин ломаных, вписанных в кривую Тем самым

Рис. 14. Объединение ломаных, вписанных в кривые правильно вписано в кривую

Рис. 15. Разбиению отрезка изменения параметра соответствует вписанная в кривую ломаная

Пусть граничные точки спрямляемой кривой точка кривой соответствующая некоторому значению из сегмента координаты векторной функции

Обозначим через длину дуги кривой (рис. 15).

3+. Функция строго монотонна и непрерывна на сегменте и положительна при

Положительность очевидна.

Монотонность вытекает из свойства

Доказательство непрерывности предварим вспомогательными рассмотрениями.

а) Пусть любое положительное число. Из, определения длины дуги вытекает существование вписанной в кривую L ломаной, длина которой отличается от длины кривой L меньше чем на Естественно рассматривать ломаную, имеющую точку одной из своих вершин.

Ясно, что и длина части этой ломаной, вписангой в кривую отличается от ее длины меньше чем на

Конечно, длина любого звена рассматриваемой ломаной отличается от длины стягиваемой ею дуги меньше чем на

б) Длины звеньев ломаной со свойством а) можно считать меньше Действительно, из свойства равномерной непрерывности координат радиуса-вектора кривой L на сегменте вытекает, что по данному найдется такое положительное число что при разбиении сегмента на частичные сегменты с длинами меньше колебания функций на каждом частичном сегменте будут меньше Тогда длина звена ломаной будет меньше

в) Рассмотрим ломаную со свойствами а) и б). Дуга, стягиваемая произвольным звеном этой ломаной, имеет длину, меньшую . В самом деле, по свойству а) длина такой дуги отличается от длины стягивающего ее звена меньше, чем на а по свойству б) длина любого звена меньше

Докажем теперь непрерывность функции

По данному построим ломаную со свойствами а), б), в) и соответствующее этой ломаной разбиение сегмента Пусть точка на кривой L отвечает значению Обозначим через наименьшую из длин сегментов Если то Отсюда вытекает, что

так как длина дуги, стягиваемой звеном ломаной, меньше

Случай рассматривается аналогично.

Таким образом,

если только

В силу произвольности выбора точки на кривой L непрерывность функции на сегменте доказана.

Пусть — длина кривой Вследствие того что функция на сегменте строго возрастает от нуля до 5 и непрерывна, на сегменте [0, 5] существует строго возрастающая и непрерывная функция Это означает, что параметр на спрямляемой кривой есть строго монотонная и непрерывная функция длины дуги Отсюда следует, что на спрямляемой простой кривой в качестве параметра может быть выбрана длина дуги

Такая параметризация спрямляемой кривой называется натуральной или естественной, а параметр s (длина дуги) — натуральным параметром.

Задача. Доказать, что для спрямляёмости простой кривой L необходимо и достаточно, чтобы функции были функциями ограниченной вариации.

Замечание. Понятие длины дуги можно ввести и для кривых, заданных параметрически. Длина дуги такой кривой по определению равна сумме длин простых кривых, из которых она составлена, при условии, что эта сумма ограничена. И в этом случае длина дуги может быть параметром на кривой.