Б. АФФИННОЕ (ТОЧЕЧНОЕ) ПРОСТРАНСТВО
§ 4. ТЕНЗОРЫ В ТОЧЕЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В предыдущих параграфах этой главы мы ввели понятие тензора и рассмотрели некоторые свойства тензоров в 
-мерном линейном пространстве. В практических задачах чаще приходится иметь дело с пространствами несколько иной природы — аффинными, или точечными, пространствами. Поэтому представляется естественным обобщить понятие тензора на случай точечных пространств.
1°. Точечное пространство
Начнем с примера.
Из курса аналитической геометрии известно, как упорядоченная пара точек трехмерного пространства определяет направленный отрезок, а вслед за ним и вектор. При этом от любой точки пространства можно заданный вектор отложить. Векторы можно складывать и умножать на произвольные числа. Множество всех векторов образует трехмерное линейное (векторное) пространство.
Таким образом, отправляясь от пространства, элементами которого являются точки, мы строим новое пространство, элементами которого являются векторы. Заметим это.
Рассмотрим непустое множество А, элементы которого будем называть точками и обозначать прописными латинскими буквами 
Каждой упорядоченной паре точек 
поставим в соответствие вектор 
из линейного пространства 
Обозначение: 
Точка 
называется началом вектора 
а точка 
концом вектора 
Потребуем выполнения следующих условий.
1. Для любой точки О из множества А и любого вектора 
из пространства 
можно указать единственную точку 
такую, что 
если точка О фиксирована, то тем самым между векторами из пространства 
и точками из множества А устанавливается взаимно однозначное соответствие.
2. Для любых трех точек 
выполняется равенство (рис. 2)
Рис. 2. Аксиомы точечного пространства
Тогда множество А называется 
-мерным аффинным, или точечным, пространством и обозначается так: 
Ясно, что пространство, изучаемое в курсе аналитической геометрии, удовлетворяет этим условиям 
