2°. Основные уравнения теории поверхностей
Если 
— 
-регулярная поверхность, то справедливы равенства
Каждый из пяти векторов 
входящих в формулы (14), можно представить в виде линейной комбинации
векторов 
Причем, как доказано в предыдущем пункте, коэффициенты в этих разложениях известным образом определяются через коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности и производные этих коэффициентов.
Остановимся на этом подробнее.
Рассмотрим разность
Заменяя векторы 
их разложениями по формулам (3), получим, что
Вновь используя деривационные формулы (3) и (4), перепишем последнее соотношение в следующем виде:
где
В силу первого из равенств (14) вектор 
тождественно равен нулю:
Отсюда и из линейной независимости векторов 
вытекает, что коэффициенты в разложении (15) необходимо равны нулю:
Применяя тот же прием к разностям
и
приходим к разложениям
коэффициенты 
в которых известным образом выражаются через 
(Читатель без труда сможет вывести их самостоятельно таким же способом, как были получены формулы (16) для коэффициентов 
Все коэффициенты в разложениях (17) равны нулю.
Как и раньше, это следует из равенств
и линейной независимости векторов 
Итог наших рассуждений коротко можно сформулировать следующим образом:
Не предъявляя формул для всех коэффициентов 
явно (как можно судить по соотношениям (16), они достаточно громоздки), укажем путь дальнейшего исследования системы (18).
Заменив коэффициенты 
в выражениях для 
через коэффициенты 
первой и второй квадратичных форм при помощи формул (8) — (11), несложно убедиться в том, что только три из девяти равенств (18) независимы.
Именно, одну и ту же формулу дают четыре условия:
Еще по одной формуле получается из условий
и
соответственно. Условие
выполняется тождественно.
После простых, хотя и достаточно громоздких, преобразований этим трем формулам удается придать следующий вид (читателю полезно проделать соответствующие вычисления, чтобы убедиться, в частности, в отсутствии опечаток):
(формула Гаусса)
Первая из приведенных формул — формула (19) — несет в себе содержание основной теоремы Гаусса (theorema egregium): кривизна регулярной поверхности
может быть выражена только через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности и их производные.
