§ 1. ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ

1°. Плоские области

Множество точек на плоскости координаты х и у которых удовлетворяют неравенству

называется открытым кругом радиуса с центром в точке

Пусть множество точек на плоскости.

Точка множества D называется его внутренней точкой, если существует открытый круг с центром в этой точке, целиком лежащий в D.

Множество точек на плоскости, каждая из которых является его внутренней точкой, называется открытым множеством.

Примерами открытых множеств могут служить: сам открытый круг, внутренняя часть треугольника, внутренняя часть квадрата и т. п.

Открытое множество D называется (линейно) связным, если любые две его точки соединить простой кривой так, чтобы

Точка называется граничной точкой множества D, если в любом открытом круге с центром в точке содержатся как точки, принадлежащие множеству D, так и точки, ему не принадлежащие.

Совокупность всех граничных точек множества D называется его границей.

Обозначение:

Пример. Окружность

является границей открытого круга (1).

Множество называется замыканием множества D. Оно состоит из внутренних и граничных точек множества D.

Пример. Замыканием открытого круга (1) является круг

Множество точек на плоскости называется ограниченным, если существует круг, которому принадлежат все точки этого множества.

Простая замкнутая кривая разбивает плоскость на два множества, одно из которых ограничено. Кривая является границей множества D. Будем говорить также, что множество D охвачено замкнутой кривой (рис. 2).

Связное множество D точек на плоскости называется односвязным, если для любой простой замкнутой кривой, принадлежащей множеству D, охватываемое ею множество также принадлежит D.

Рис. 2. Область D односвязна

Открытое односвязное множество точек на плоскости будем называть плоской областью.