2°. Длина дуги гладкой кривой

Будем считать, что евклидова структура в пространстве вводится посредством положительно определенного метрического тензора заданного в криволинейных координатах

Положительная определенность метрического тензора означает, что для любого ненулевого набора чисел в каждой точке выполняется неравенство

Это свойство сохраняется при переходе к любой другой координатной системе.

Из положительной определенности метрического тензора, в частности, следует, что

Рассмотрим некоторые свойства евклидова пространства, основываясь на таком способе задания метрического тензора.

Обратимся к вычислению длины дуги кривой.

Пусть

— параметрические уравнения гладкой кривой у. Радиус-вектор произвольной точки кривой у является функцией параметра

Для касательного вектора к кривой у в точке справедливо разложение (рис. 9)

Аналогично, рассматривая вдоль кривой у дифференциал радиус-вектора при бесконечно малом смещении вдоль у, получаем

Рис. 9. Касательный вектор кривой и координатный репер

Вычислим скалярные квадраты этих векторов. С учетом формул (1) имеем

Длина дуги кривой у между точками определяется формулой

и, значит,

Таким образом, если в области X в криволинейных координатах задан метрический тензор то длину произвольной гладкой кривой можно находить по одной из формул (4). Функции вычисляются здесь на кривой значит, зависят от

Из формулы (4) вытекает, что

или, что то же самое,

Тем самым квадрат дифференциала длины дуги при произвольном бесконечно малом смещении по любой кривой есть квадратичная форма от дифференциалов криволинейных координат — дифференциальная квадратичная форма.

Замечание. Вид квадратичной формы (5) инвариантен относительно преобразований криволинейных координат. Это легко вытекает из закона преобразования (3) ее коэффициентов и формулы для дифференциалов

Важное замечание. По самому способу задания метрического тензора ясно, что, переходя к прямолинейным координатам, мы получим, что все его компоненты постоянны, т. е. не изменяются от точки к точке. Если же просто задать тензор типа никак не связывая его с геометрией самого пространства, а лишь подчинив требованиям симметричности и невырожденности (положительной определенности), то при переходе к прямолинейной системе координат такого эффекта может и не наблюдаться.

Пусть в области изменения переменных заданы функций таких, что

Сформулируем следующий вопрос.

Существует ли в точечном пространстве область X, в которой можно принять за криволинейные координаты, потребовав дополнительно, чтобы функции были компонентами метрического тензора относительно этой координатной системы, другими словами, чтобы при переходе в этой области к прямолинейным координатам компоненты тензора стали постоянными?

В общем случае ответ на этот вопрос отрицателен.

В дальнейшем (см. § 2 главы 4) мы установим содержательные условия на дважды ковариантный симметричный невырожденный (положительно определенный) тензор, выполнение которых необходимо и достаточно для того, чтобы этот тензор был метрическим тензором точечного евклидова пространства. Другими словами, будут сформулированы необходимые и достаточные условия на функции при выполнении которых область X, обладающая вышеуказанным свойством, существует.