3°. Доказательство теоремы Гильберта о невозможности в евклидовом пространстве Е3 полной плоскости Лобачевского

В конце прошлого и в начале нынешнего века Гильберт занимался одним из важнейших вопросов естествознания — основаниями геометрии. Он детально исследовал проблему аксиоматического построения геометрии. Геометрия строилась им без обращения к каким-либо реальным объектам. Точки, прямые и плоскости не определялись, их свойства описывались аксиомами — исходными положениями, из которых логически выводились свойства различных геометрических фигур.

Известно, что планиметрия Евклида и сферическая геометрия представляют собой соответственно внутреннюю геометрию плоскостей и сфер евклидова пространства. Примеры поверхностей постоянной отрицательной кривизны — поверхности вращения, полученные Миндингом, — не имэют на регулярных своих частях внутреннюю геометрию, совпадающую с геометрией частей плоскости Лобачевского, но имеют и особенности: ребра, острия и, главное, в целом не представляют полной плоскости Лобачевского. В 1901 г. Гильберт в работе «О поверхностях постоянной гауссовой кривизны» (Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., ОГИЗ, 1948) рассмотрел вопрос о существовании в пространстве Е3 полной без особенностей плоскости Лобачевского и доказал, что в пространстве не существует полной и регулярной

поверхности, внутренняя геометрия которой представляет геометрию полной плоскости Лобачевского (рис. 3).

Доказательство Гильберта основано на анализе свойств решений уравнения синус-Гордона. Ниже приводится доказательство Гильберта о невозможности в пространстве полной плоскости Лобачевского.

Рис. 3. Поверхности Миидинга постоянной отрицательной кривизны: а — «фонарики»; б - «катушки»; в — псевдосфера

Пусть в пространстве имеется полная регулярная поверхность внутренняя геометрия которой является геометрией бачевского. Будем считать, что гауссова кривизна К поверхности равна —1 (если гауссова кривизна поверхности равна отрицательной постоянной то путем подобного преобразования пространства всегда можно добиться того, чтобы кривизна преобразованной поверхности была равна —1). На поверхности возникает чебышевская сеть асимптотических линий. Эта сеть в целом имеет такую же структуру, что и декартова сеть на евклидовой плоскости: любые две линии сети из разных семейств пересекаются (в декартовой сети любая линия х пересекается с любой линией Отметим, что такое свойство справедливо не для каждой сети (рис. 4).

Поскольку чебышевская сеть асимптотических устроена в целом как декартова сеть на плоскости, мы будем в дальнейшем

Рис. 4. Пример сети на плоскости, обладающей основным свойством декартовой сети локально, но не обладающей этим свойством в целом. Эта сеть строится так. На плоскости проводится семейство параллельных прямых —1, 0, 1, 2, 3, на одинаковом расстоянии друг от друга. Затем берется шаблон — кривая, расположенная, например, между параллельными прямыми 1 и 2, для которой эти прямые являются асимптотами. Этот шаблон путем параллельного переноса в полосе между прямыми 1 и 2 образует часть линий первого семейства. Прямые также причисляются к первому семейству. Аналогично строится второе семейство (линии второго семейства обозначены прерывистыми линиями). В окрестности произвольной точки любые две линии сети из разных семейств пересекаются (основное свойство декартовой сети), но выделенные на рисунке стрелками линии первого и второго семейств не пересекаются

иллюстрировать наши рассуждения на декартовой плоскости параметров х и у (рис. 5).

Сетевой угол между асимптотическими линиями х и у удовлетворяет условию

Действительно, в каждой точке поверхности отрицательной кривизны существует два различных асимптотических направления, угол между которыми как раз и равен углу Поскольку асимптотические направления различны, угол между ними не может быть равен ни нулю ни .

Таким образом, если в пространстве имеется полная поверхность отрицательной гауссовой кривизны то на этой

поверхности возникает чебышевская сеть асимптотических линий, устроенная в целом как декартова сеть на плоскости, причем сетевой угол этой сети удовлетворяет уравнению синус-Гордона (1) и условию (13).

Рис. 5. Две любые линии 1-го и 2-го семейств чебышевской сети пересекаются. Из точек отрезка базовой линии х проведем все линии 2-го семейства и на каждой из них отложим дугу одной и той же малой длины у. Концы отложенных отрезков образуют линию 1-го семейства, близкую к базовой и пересекающую произвольно выбранную линию 2-го семейства. Повторяя описанную процедуру достаточное число раз, дойдем до произвольной линии 1-го семейства. Тем самым произвольно выбранные линии из 1-го и 2-го семейств чебышевской сети пересекаются

Гильберт показал, что на всей плоскости параметров х и у не существует решения уравнения (1), удовлетворяющего условию (13). Это, очевидно, и доказывает невозможность в пространстве полной плоскости Лобачевского.

Итак, предположим, что на всей плоскости существует решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (13).

Частная производная ибо из того, что следовало бы и далее в силу уравнения т. е. либо либо что противоречит условию (13).

Без ограничения общности можно считать, что (случай рассматривается аналогично). Поэтому существует такое что на отрезке (рис. 6)

Ясно, что

Рис. 6. Полуполоса и полуполоса

Рис. 7. На участке выполняется неравенство

Таким образом,

Согласно условию на всей плоскости в частности, в полуполосе

Так как то функция монотонно возрастает при возрастании у в полуполосе самым вследствие неравенства (14) имеем

Интегрируя неравенство (15) по х от нуля до а при любом фиксированном получим

После интегрирования неравенства (15) по х от 2а до За

С учетом условия приходим к оценке

В полуполосе является возрастающей функцией по ее производная положительна (см. Поэтому в полуполосе выполняются соотношения

Выберем а так, чтобы та было меньше Тогда для значений , удовлетворяющих условию (19), имеем (рис. 7)

Отсюда и из уравнения (1) получаем, что для всех точек полуполосы справедливо неравенство

Интегрируя это неравенство сначала по у от 0 до некоторого а затем полученное неравенство по от а до 2а, приходим к соотношению

Если взять

то из этого соотношения получается, что в некоторой точке полуполосы имеет место оценка

которая противоречит условию (13).

Утверждение Гильберта о невозможности в пространстве полной плоскости Лобачевского доказано.

Замечание. В самом начале проведенных рассуждений мы предположили, что в пространстве существует полная регулярная поверхность, внутренняя геометрия которой является геометрией Лобачевского. Это предположение следует уточнить. Предварительно сделаем некоторые пояснения. Представим себе обычный бесконечный цилиндр в пространстве Его можно рассматривать как поверхность, полученную склеиванием граничных прямых бесконечной полосы. Но этот же цилиндр можно рассматривать как евклидову плоскость, бесконечное число раз намотанную на цилиндр. При этом говорят, что евклидова плоскость является

Рис. 8. а — бесконечная полоса на плоскости; б - цилиндр, полученный склеиванием граничных прямых; в - евклидова плоскость, бесконечное число раз намотанная на цилиндр

универсальной накрывающей цилиндра. Понятие универсальной накрывающей можно ввести для любой поверхности. В рассуждениях этого пункта имелась в виду именно универсальная накрывающая поверхности (рис. 8).