5°. Кривая как годограф векторной функции

Пусть связное множество точек на прямой (сегмент, полусегмент, интервал, открытая или замкнутая полупрямая, вся прямая).

Будем говорить, что на множестве задана векторная функция если каждому значению по определенному правилу ставится в соответствие вектор Если откладывать все векторы от начала координат, то при изменении параметра по множеству конец вектора опишет некоторое множество которое называется годографом векторной функции (рис. 8).

Для векторных функций в полной аналогии со скалярными функциями вводятся понятия предела и непрерывности.

Сформулируем соответствующие определения.

Вектор b называется пределом векторной функции при (в точке а), если для любого существует такое, что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Рис. 7. Кривая Вивиани — линия пересечения сферы и цилиндра

Рис. 8. Годограф векторной функции

Обозначения:

Векторная функция называется непрерывной в точке если Векторная функция называется непрерывной на множестве если она непрерывна в каждой его точке.

Пусть задана векторная функция Тогда координаты х, у, z переменного вектора также будут функциями параметра

При этом если единичные векторы координатных осей, то

Отметим, что если функции (7) заданы, то их можно считать координатами векторной функции Легко видеть, что если то функции (7) имеют пределы при равные соответствующим координатам вектора Из непрерывности в точке а следует непрерывность функций (7) в точке а. Верно и обратное: из существования пределов при функций (7) вытекает существование предела при векторной функции с координатами (7). Аналогично и для непрерывности.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Если векторные функции и скалярная функция непрерывны, то функции также непрерывны.

Докажем, например, непрерывность функции

Пусть координаты векторной функции координаты векторной функции Тогда

Так как из Непрерывности скалярных функций следует непрерывность их произведения и суммы, то из последнего равенства можно заключить, что скалярное произведение непрерывно.

Пусть непрерывная на сегменте векторная функция. В случае, когда различным значениям параметра из этого сегмента отвечают различные значения векторной функции, ее годограф — простая кривая. Можно говорить также, что кривая, заданная параметрически при помощи соотношений (7), является годографом векторной функции с координатами (7). Иными словами, параметрическое и векторное задания кривой равносильны.

Мы будем использовать следующую терминологию: «кривая L задана векторной функцией или вектор кривой