4°. Доказательство существования регулярного решения уравнения синус-Гордона на всей плоскости

Рассмотрим следующую задачу: на плоскости найти функцию удовлетворяющую уравнению синус-Гордона (l)

и дополнительным условиям на координатных осях

Решение задачи (1), (21) было получено Бианки.

Докажем существование решения задачи (1), (21). Она эквивалентна задаче построения решения интегрального уравнения

Рассмотрим следующую итерационную последовательность:

При имеем

(здесь для других значений х и у рассуждение проводится аналогично). Из того, что получаем

Проведем далее рассуждения индукции.

При для разности справедлива оценка (25).

Предположим теперь, что для некоторого выполнено неравенство

и покажем, что для разности имеет место аналогичная оценка.

Заменяя в правой части неравенства на получим, что

Тем самым мы можем утверждать справедливость оценки (26) для любого

Отсюда вытекает равномерная сходимость последовательности на всей плоскости. Предел этой последовательности является решением интегрального уравнения (22). Посредством стандартных рассуждений доказывается, что эта функция имеет непрерывных производных на всей плоскости и поэтому представляет собой решение задачи (1), (21).

Замечание 1. Задача (1), (21) имеет единственное решение.

Замечание 2. В пункте 3 этого параграфа было доказано, что на всей плоскости не существует решения уравнения синус-Гордона, удовлетворяющего условию Поэтому любое решение этого уравнения на всей плоскости обязательно будет принимать значения, кратные .