2°. Простая поверхность

Пусть ограниченная плоская область и ее замыкание.

Введем на плоскости координатную систему Пусть х, у, z - прямоугольные декартовы координаты точек в трехмерном евклидовом пространстве

Зададим на множестве D три непрерывные функции

и предположим, что функции (2) обладают следующим свойством.

Свойство А. Если ( различные точки множества D, то точки пространства координаты которых вычислены по формулам (2)

также различны.

Определение. Множество точек , координаты х, у, z которых определяются соотношениями

где функции в замыкании D области D обладают свойством А, называется простой поверхностью.

Множество точек с координатами

— образ границы области называется границей простой поверхности

Обозначение:

Пример. Рассмотрим на плоскости параметров прямоугольник

Зададим в прямоугольнике три функции

Эти функции непрерывны и разным точкам прямоугольника соответствуют разные точки координаты которых вычисляются по формулам В этом совсем нетрудно убедиться, когда При сказанное. вытекает из того, что

Множество точек пространства координаты которых определяются соотношениями имеет довольно сложный вид (рис. 3).

Рис. 3. Пример непростой поверхности

Это объясняется тем, что в замкнутом прямоугольнике вертикальным отрезкам соответствует одно и то же множество точек на поверхности:

Соотношения (3) называют параметрическими уравнениями простой поверхности параметры. Говорят также, что простая поверхность задается параметрически.

Пусть — орты координатных осей. Тогда задание поверхности при помощи формул (3) равносильно заданию одной векторной функции

определенной в области D.

Если простая поверхность задана соотношением (5), то говорят, что поверхность задана векторным уравнением; векторную функцию называют радиус-вектором или просто вектором поверхности

Примеры простых поверхностей.

1. Пусть

— функция, непрерывная в замыкании D ограниченной открытой области D. Тогда ее график — множество точек

— простая поверхность

Параметрические уравнения этой поверхности имеют вид

Все эти функции непрерывны в замкнутой области D и различным точкам из D отвечают различные точки поверхности (рис. 4).

Рис. 4. График непрерывной функции — простая поверхность

Рис. 5. Цилиндрическая поверхность со спиралевидной направляющей

Замечание. Процесс непрерывной деформации куска плоскости в простую поверхность можно проиллюстрировать на рассмотренном выше примере.

Обратимся к семейству поверхностей, зависящих от параметра параметра деформации:

При изменении параметра от 0 до 1 область D (кусок плоскости) подвергается непрерывной деформации: при имеем плоскую область D, а при рассматриваемую Простую поверхность Пусть

— открытый прямоугольник на плоскости .

Набор функций

задает в пространстве простую поверхность (рис. 5).

Одна и та же простая поверхность может иметь разные параметрические представления.

Например, уравнения

и уравнения

задают одну и ту же простую поверхность — верхнюю полусферу радиуса с центром в начале координат.