Подпокрытие — это покрытие, все множества которого принадлежат исходному покрытию.
Определение. Топологическое пространство называется компактным, если всякое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.
Пример 1. Отрезок 
прямой 
является компактным пространством.
Пример 2. Прямая 
некомпактна: из открытого покрытия
нельзя выделить конечного подпокрытия.
Свойства компактных пространств.
1+. Компактное пространство нормально.
2+. Образ компактного пространства при непрерывном отображении является компактным пространством.
3+. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно.
4+. Топологическое произведение компактных пространств является компактным пространством.
5+ Компактное подмножество хаусдорфова пространства является замкнутым множеством.
подмножество топологического пространства 
открытых множеств, такое, что любая точка из принадлежит хотя бы одному из множеств 
называется открытым покрытием
