Главная > Дифференциальная геометрия: первое знакомство
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

В этом параграфе мы познакомимся с геометрическими методами исследования уравнения

широко известного под названием уравнения синус-Гордона. Происхождение этого уравнения связано с геометрическими исследованиями. Об этом мы подробнее расскажем ниже. Уравнение синус-Гордона встречается в различных задачах естествознания. Мы познакомимся с некоторыми применениями этого уравнения в физике.

1°. Чебышёвские сети на поверхности

В 1878 г. известный русский математик П. Л. Чебышёв в работе «О кройке одежды» исследовал вопрос о специальных сетях на поверхностях. Эти сети, называемые теперь чебышёвскими, характеризуются следующим свойством: в каждом сетевом четырехугольнике противоположные стороны равны. Ясно, что нити куска ткани, натянутой на поверхность, образуют на ней чебышевскую сеть (рис. 2).

Рис. 2. Сеть линий на поверхности Яркими линиями выделен сетевой четырехугольник. Угол который образуют пересекающиеся в точке поверхности линии сети — координатные линии — линия х и линия у, называется сетевым углом.

Пусть на поверхности задана чебышевская сеть и линии этой сети выбраны за координатные линии. Одну из линий первого семейства примем за базовую линию (линия а другого — за базовую линию у (линия За координату х точки на поверхности выберем длину отрезка базовой линии, отсчитываемого (с учетом знака) от начальной точки . Аналогично выбирается координата у. Угол между координатными линиями х и у в точке (сетевой угол) обозначим через

Из определения чебышевской сети вытекает, что параметры х и у — длины дуг соответствующих координатных линий и поэтому если радиус-вектор поверхности то

Следовательно, первая квадратичная форма поверхности для выбранной внутренней системы координат х и у имеет вид

Напомним, что

Верно и обратное: если первая квадратичная форма поверхности имеет вид (2), то сеть координатных линий х и у является чебышевской.

Итак, для того чтобы сеть линий х и у на поверхности была чебышевской, необходимо и достаточно, чтобы первая квадратичная форма этой поверхности имела вид (2).

Найдем уравнение для сетевого угла чебышевской сети.

Подсчитаем кривизну К поверхности при помощи формулы (19) § 5 главы 2, замечая, что по этой формуле кривизну поверхности можно вычислить, если известны лишь коэффициенты первой квадратичной формы. Полагая в формуле и используя формулы (3), получим, что

Из формул (4) следует, что в определителе третьего порядка, располагающемся в правой части соотношения (19), первая и третья строки равны, и поэтому этот определитель равен нулю. Тем самым

Отсюда, вновь привлекая формулы (4), получаем нужное нам уравнение для сетевого угла

Эта формула посредством несложных преобразований вытекает из формулы для сетевого угла, приведенной Чебышевым в цитированной выше работе. Сравнивая формулу (5) и уравнение (1), видим, что уравнение для сетевого угла переходит в уравнение синус-Гордона при Тем самым с геометрической точки зрения решение уравнения синус-Гордона связано с задачей построения чебышевских сетей на поверхностях, гауссова кривизна К которых равна —1. Более того, каждому решению уравнения синус-Гордона на такой поверхности отвечает чебышевская сеть.

1
Оглавление
email@scask.ru