§ 2. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

В этом параграфе мы познакомимся с геометрическими методами исследования уравнения

широко известного под названием уравнения синус-Гордона. Происхождение этого уравнения связано с геометрическими исследованиями. Об этом мы подробнее расскажем ниже. Уравнение синус-Гордона встречается в различных задачах естествознания. Мы познакомимся с некоторыми применениями этого уравнения в физике.

1°. Чебышёвские сети на поверхности

В 1878 г. известный русский математик П. Л. Чебышёв в работе «О кройке одежды» исследовал вопрос о специальных сетях на поверхностях. Эти сети, называемые теперь чебышёвскими, характеризуются следующим свойством: в каждом сетевом четырехугольнике противоположные стороны равны. Ясно, что нити куска ткани, натянутой на поверхность, образуют на ней чебышевскую сеть (рис. 2).

Рис. 2. Сеть линий на поверхности Яркими линиями выделен сетевой четырехугольник. Угол который образуют пересекающиеся в точке поверхности линии сети — координатные линии — линия х и линия у, называется сетевым углом.

Пусть на поверхности задана чебышевская сеть и линии этой сети выбраны за координатные линии. Одну из линий первого семейства примем за базовую линию (линия а другого — за базовую линию у (линия За координату х точки на поверхности выберем длину отрезка базовой линии, отсчитываемого (с учетом знака) от начальной точки . Аналогично выбирается координата у. Угол между координатными линиями х и у в точке (сетевой угол) обозначим через

Из определения чебышевской сети вытекает, что параметры х и у — длины дуг соответствующих координатных линий и поэтому если радиус-вектор поверхности то

Следовательно, первая квадратичная форма поверхности для выбранной внутренней системы координат х и у имеет вид

Напомним, что

Верно и обратное: если первая квадратичная форма поверхности имеет вид (2), то сеть координатных линий х и у является чебышевской.

Итак, для того чтобы сеть линий х и у на поверхности была чебышевской, необходимо и достаточно, чтобы первая квадратичная форма этой поверхности имела вид (2).

Найдем уравнение для сетевого угла чебышевской сети.

Подсчитаем кривизну К поверхности при помощи формулы (19) § 5 главы 2, замечая, что по этой формуле кривизну поверхности можно вычислить, если известны лишь коэффициенты первой квадратичной формы. Полагая в формуле и используя формулы (3), получим, что

Из формул (4) следует, что в определителе третьего порядка, располагающемся в правой части соотношения (19), первая и третья строки равны, и поэтому этот определитель равен нулю. Тем самым

Отсюда, вновь привлекая формулы (4), получаем нужное нам уравнение для сетевого угла

Эта формула посредством несложных преобразований вытекает из формулы для сетевого угла, приведенной Чебышевым в цитированной выше работе. Сравнивая формулу (5) и уравнение (1), видим, что уравнение для сетевого угла переходит в уравнение синус-Гордона при Тем самым с геометрической точки зрения решение уравнения синус-Гордона связано с задачей построения чебышевских сетей на поверхностях, гауссова кривизна К которых равна —1. Более того, каждому решению уравнения синус-Гордона на такой поверхности отвечает чебышевская сеть.