4°. Дискриминантный тензор

Рассмотрим тензор типа где - размерность пространства, кососимметрический по любым двум индексам. что любая координата еэтого тензора в данном базисе может быть найдена по формуле

Здесь показатель равен 0 или в зависимости от четности или нечетности перестановки

Пусть в заданном ортонормированном базисе

Тогда, согласно правилу (12), определены все координаты кососимметрического тензора в выделенном базисе. Этот кососимметрический по любым двум индексам тензор будем называть дискриминантным тензором, а его координаты в базисе обозначать через

В соответствии с правилом (12) для вычисления координат тензора в базисе достаточно знать значение координаты

Пусть матрица перехода от базиса к базису Тогда, используя равенство (13), получим, что

Пусть координаты метрического тензора в базисе матрица этого тензора. Тогда

где I — единичная матрица тензора в выделенном ортонормированном базисе Поэтому

Отсюда, согласно формуле (14), получаем, что

Знак или в формуле (15) совпадает со знаком определителя матрицы перехода от базиса к базису

Назовем заданный ортонормированный базис в котором выполняется равенство (13), правым. Все базисы пространства определители матриц перехода к которым положительны, также назовем правыми, а базисы, определители матриц перехода к которым от этого заданного базиса отрицательны, назовем левыми. Будем говорить в этом случае, что пространство ориентировано.

Итак, для координаты с дискриминантного тензора в базисе получено выражение

где матрица метрического тензора в базисе Знак плюс отвечает правому базису, а знак минус — левому.