3°. Полугеодезические координатные системы
Определение. Координатная система на поверхности называется полугеодезшеской, если координатные линии различных семейств попарно ортогональны и одно из семейств состоит из геодезических линий.
Покажем, что на регулярной поверхности 
в достаточно малой окрестности любой ее точки X можно ввести полугеодезическую систему координат.
Пусть 
— произвольная гладкая кривая на поверхности 
проходящая через точку 
Проведем через каждую точку кривой 
, достаточно близкую к точке X, геодезическую линию, образующую с кривой 
в точке пересечения прямой угол.
Построенное семейство геодезических линий поверхности 
ортогональных кривой 
, зависит от одного параметра (например, длины дуги кривой 
, отсчитываемой от точки X) и обладает следующим свойством: через каждую точку достаточно малой окрестности 
точки X на поверхности 
проходит ровно одна геодезическая семейства.
Второе семейство координатных линий состоит из ортогональных траекторий построенных геодезических.
Кривая 
(она принадлежит второму семейству) называется базой полугеодезической координатной системы. Часто в качестве базы полугеодезической системы координат выбирают геодезическую линию (рис. 49).
Рис. 49. База 
и ортогональные к ней геодезические
Рис. 50. Отрезки 
геодезических, ортогональных кривой 
имеют равные длины
Принимая кривые первого семейства геодезических за координатные линии 
а их ортогональные траектории за координатные линии 
получим, что первая квадратичная форма поверхности 
в окрестности 
имеет вид
Полагая в уравнении геодезических
получим, что
Отсюда и из формул (10) — (11) § 5 для символов Кристоффеля вытекает, что
Тем самым коэффициент 
зависит только от переменной и.
Вводя вместо и новый параметр
можно еще более упростить первую квадратичную форму:
Положим
Тогда в новых координатах 
первая квадратичная форма примет следующий вид:
причем
Для линий 
получаем, что
Отсюда вытекает, что ортогональные траектории семейства геодезических отсекают на геодезических линиях дуги равной длины (рис. 50).
Замечание. В случае, когда база 
геодезическая линия, вдоль нее выполняется равенство
