3°. Ранг гладкого отображения

Определение. Рангом гладкого отображения в точке называется размерность образа касательного пространства при касательном отображении

Из курса линейной алгебры известно, что размерность образа линейного пространства при линейном отображении равна рангу матрицы этого отображения.

Тем самым

Пример. Ранг проекции определяемой по правилу

равен

Пусть — гладкое отображение и точка из

Если

то существует окрестность точки такая, что для любой точки из выполняется неравенство

Если для любой точки из то говорят, что гладкое отображение имеет в окрестности постоянный ранг.

ТЕОРЕМА 4. Пусть гладкое отображение имеет в окрестности точки многообразия постоянный ранг Тогда существуют локальные карты и в которых отображение допускает представление вида

Выберем локальные координаты и так, чтобы

В этих координатах отображение записывается как (рис. 30)

или, подробнее,

Рис. 30. Гладкое отображение ранга 1

По условию можно считать, что всюду в

т. е. в окрестности точки О матрица Якоби

содержит ненулевой минор порядка

Перенумерацией координат всегда можно добиться того, чтобы

Рассмотрим отображение некоторой окрестности точки в пространство определяемое по правилу

или, подробнее,

Матрица Якоби этого отображения

не вырождена. По теореме о неявной функции можно указать окрестность точки 0, в которой отображение является обратимым. Отображение имеет вид

и

— его матрица Якоби. Так как ранг отображения h (как и ранг в окрестности точки О равен то в этой окрестности выполняются равенства

Следовательно, для функции на самом деле зависят только от первых координат т. е.

Обратимся теперь к пространству

Рассмотрим отображение некоторой окрестности точки в пространство определяемое по правилу

или, по-иному,

Матрица Якоби этого отображения

не вырождена. Поэтому является координатным преобразованием в точке

Переходя от координатных систем х на на к координатным системам соответственно, получаем, что отображение представляется новой функцией