ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Простая поверхность получается путем непрерывной деформации (растяжений, сжатий и изгибаний) куска плоскости. В процессе такой деформации точка плоскости перемещается по некоторой траектории и переходит в определенную точку поверхности (рис. 1).

Рис. 1. Простая поверхность получается при помощи непрерывной деформации куска плоскости

Поверхности более общей природы уже нельзя получить деформацией куска плоскости. Они могут иметь самопересечения, участки самоналегания. Однако достаточно малая окрестность каждой точки такой поверхности устроена в некотором смысле как простая поверхность.

Для исследования геометрических свойств поверхностей целесообразно наложить на них определенные условия — условия регулярности. Ограничиваясь рассмотрением поверхностей без особенностей и развивая для их изучения эффективный аппарат, мы введем ряд важных характеристик поверхности, таких, как первая и вторая квадратичные формы, средняя и гауссова кривизны и др., покажем их роль в описании геометрических свойств поверхности как внутренних, так и внешних, найдем интересные связи между ними.