2°. Плоские кривые, задаваемые параметрически

Истоком такого способа задания кривых служит представление о кривой как о совокупности последовательных положений движущейся точки. Обратимся к примеру.

Пример 1. Совокупность последовательных положений точки движущейся по плоскости при изменении параметра от до по закону

представляет собой кривую, называемую строфоидой. Заметим, что при изменении параметра в указанных пределах движущаяся по строфоиде точка попадает в начало координат дважды: при и при Так как мы рассматриваем здесь последовательные положения движущейся точки, то точки строфоиды, отвечающие этим различным значениям параметра считаются различными: каждая точка на строфоиде как бы помечается отвечающим этой точке значением параметра (рис. 3).

Рис. 3. Строфоида: указан порядок прохождения кривой при изменении параметра от до

Строфоиду можно представить как объединение простых плоских кривых. В самом деле, разобьем область изменения параметра т. е. числовую прямую на частичные сегменты Когда параметр изменяется на каждом таком сегменте, то соответствующая часть строфоиды — простая кривая. Ясно, что объединение всех таких частей представляет собой всю строфоиду (рис. 4).

Перейдем теперь к определению кривой, задаваемой параметрически.

Будем считать, что область изменения параметра связное множество на прямой:

1) сегмент;

2) полусегмент (полуинтервал) или замкнутая полупрямая;

3) интервал, открытая полупрямая или вся прямая.

Под разбиением области изменения параметра на частичные сегменты будем понимать следующую процедуру.

Рис. 4. Простые участки прямой строфоиды

В случае 1) сегмент разбивается на частичные сегменты при помощи конечного числа точек

В случае 2) полусегмент или полупрямая разби вается на частичные сегменты при помощи точек причем для полусегмента и для полупрямой для полусегмента и полупрямой разбиение производится при помощи точек причем а для полусегмента и для полупрямой.

В случае 3) разбиение интервала открытой полупрямой или всей прямой на частичные сегменты строится при помощи точек причем

Пусть функции параметра непрерывны на связном множестве

Будем говорить, что соотношения

представляют собой параметрические уравнения плоской кривой если существует такое разбиение 3) области на частичные сегменты что при изменении параметра на каждом

таком сегменте соотношения (2) определяют простую плоскую кривую. Сама кривая L и есть объединение всех указанных простых кривых (с учетом их возможных самопересечений и самоналеганий) при условии монотонного изменения параметра по множеству

При этом говорят, что кривая L задана параметрически при помощи соотношений (2).

Пример 2. Соотношения

представляют собой параметрически заданную кривую.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующее разбиение области на частичные сегменты: где Если изменяется на таком сегменте, то соотношения (3) определяют простую кривую — сегмент оси с граничными точками и . Кривая определяемая параметрическими уравнениями (3), — это траектория точки, совершающей затухающие колебания на оси с амплитудами (рис. 5).

Рис. 5. Схематическое изображение кривой, имеющей бесконечное число участков самоналегания

Пример 3. Рассмотрим кривую заданную параметрически при помощи соотношений

Система сегментов разбивает множество Для значений из каждого сегмента этой системы соотношения (4) определяют простую кривую (полуокружность). Ясно, что окружность, дважды обходимая против часовой стрелки.