§ 6. СОПРИКОСНОВЕНИЕ КРИВЫХ

1°. Понятие порядка соприкосновения

Рассмотрим кривые проходящие через общую точку гладкие в этой точке и имеющие в ней общую касательную Возьмем на прямой точку близкую к точке и проведем через точку плоскость , перпендикулярную Эта плоскость пересечет кривые в точках и соответственно (мы ограничиваем наши рассмотрения теми окрестностями точки на кривых которые однозначно проектируются на касательную Обозначим через I длину отрезка а через длину отрезка (рис. 26).

Определение. Будем говорить, что порядок соприкосновения кривых в точке не ниже если

Если, кроме того,

или отношение не имеет предела при то будем говорить, что порядок соприкосновения кривых в точке равен

Рис. 26. Кривые касаются одна другой в точке

Рис. 27. Единичный вектор и вектор сонаправлены, точка ортогональная проекция точки

Если равенство (1) имеет место для любого то кривые имеют по определению в точке бесконечный порядок соприкосновения.

Пример 1. Пусть графики функций соответственно. Кривые имеют общую точку касания Легко видеть, что в этом случае Поэтому

Следовательно, порядок соприкосновения кривых в точке равен 1.

Пример 2. Пусть ось а кривая задана параметрическими уравнениями Найдем порядок соприкосновения кривых в начале координат.

Имеем Поэтому

Так как предел отношения - не существует (он равен бесконечности), то порядок соприкосновения кривых в точке равен 37.

Пример 3. Пусть ось график функции

Покажем, что кривые имеют в начале координат бесконечный порядок соприкосновения.

В рассматриваемом случае Так как для любого

то наше утверждение справедливо.