4°. Общая поверхность

Начнем рассмотрение с двух примеров.

Пример 1. Зададим в прямоугольнике

на плоскости ( функции

Множество точек координаты которых определяются по формулам представляет собой цилиндрическую поверхность, направляющей которой является отрезок строфоиды

(см. гл. 1, § 1, п. 2°), а образующая параллельна оси

Точкам прямоугольника правило ставит в соответствие одну точку

цилиндрической поверхности (рис. 11).

(кликните для просмотра скана)

Рис. 11. Образы точек и при заданном отображении совпадают

Рис. 12. Общая поверхность с линией самопересечения

Тем самым рассматриваемая поверхность имеет линию самопересечения — прямолинейный отрезок

Выделим достаточно малую окрестность точки (на рис. 11 она заштрихована вертикально) и рассмотрим соответствующее ей по правилу множество точек Ясно, что разным точкам ( из окрестности соответствуют различные точки Это означает, что простая поверхность (рис. 12).

Аналогично, выбирая достаточно малую окрестность точки получаем простую поверхность

Тем не менее никакая окрестность точки А на множестве простой поверхностью не является (рис. 13).

Таким образом, поверхность задаваемая соотношениями локально-простой поверхностью не является. Это более общая поверхность.

Пример 2. Пусть цилиндрический пояс. Поверхность расположена внутри пояса и имеет участок самоналегания (рис. 14).

Стрелками указано, каким путем поверхность получается из цилиндрического пояса При этом некоторый участок нижней части цилиндрического пояса перейдет в нижнюю сторону участка самоналегания, а некоторый участок верхней части цилиндрического пояса перейдет в верхнюю сторону участка самоналегания.

Ясно, что поверхность не локально-простая, а более общая поверхность.

Приведенные примеры показывают, что существуют поверхности, которые устроены довольно сложно.

Рис. 13. Никакая окрестность точки X не является простой поверхностью

Рис. 14. Общая поверхность с областью самоналегания

Пусть некоторые подмножества пространства отображение одного из них в другое:

То, что отображение переводит точку X множества А в точку У множества В, обозначается так: При этом точка У называется образом точки X, а точка X — прообразом точки У.

Отображение называется взаимно однозначным, если

1) различные точки множества А отображаются в различные точки множества В и

2) для каждой точки У множества В можно найти точку X множества А, такую, что

У взаимно однозначного отображения существует обратное отображение посредством которого каждая точка У множества В отображается в свой (единственный) прообраз

Отображение называется непрерывным в точке X множества А, если для любой последовательности точек множества А, расстояния которых до точки X стремятся к нулю, соответствующая последовательность образов из множества В обладает свойством

Отображение называется непрерывным на множестве А, если оно непрерывно в каждой точке этого множества.

Взаимно однозначное и непрерывное отображение обратное к которому также непрерывно, называется гомеоморфным отображением множества А на множество В.

Образ плоской области при гомеоморфном отображении — простая поверхность.

Пусть локально-простая поверхность.

Рассмотрим заданное на ней отображение обладающее следующим свойством: у каждой точки есть окрестность на этой поверхности, такая, что отображение этой окрестности на ее образ является гомеоморфным, т. е. взаимно однозначным и взаимно непрерывным.

Образ локально-простой поверхности при таком отображении называется общей поверхностью.

В дальнейшем мы, как правило, будем рассматривать достаточно малые окрестности точек на поверхностях, т. е. ограничимся, по существу, только простыми поверхностями.