Найдем уравнения поверхности вращения.
Точка 
кривой 
при повороте кривой на угол 
переходит в точку
Рис. 40. Параллели и меридианы на поверхности вращения
Рис. 41. Цилиндр — поверхность нулевой кривизны
Тем самым уравнения поверхности вращения имеют следующий вид:
Линии 
ее меридианы, а линии 
параллели.
Первая и вторая квадратичные формы поверхности вращения равны соответственно
Отметим, что параллели и меридианы поверхности вращения образуют ортогональную сеть
а так как
то параллели и меридианы являются линиями кривизны поверхности вращения.
Примеры регулярных поверхностей вращения постоянной гауссовой кривизны.
Вращением прямой
вокруг параллельной ей оси 
получаем цилиндрическую поверхность (рис. 41)
Первая и вторая квадратичные формы этой поверхности соответственно равны
Гауссова кривизна К цилиндрической поверхности равна нулю.
Вращением полуокружности
вокруг ее диаметра получаем сферу радиуса 
(рис. 42):
Рис. 42. Сфера — поверхность постоянной положительной кривизны
Рис. 43. Трактриса
Ее основные формы соответственно равны
Гауссова кривизна К сферы радиуса 
Рассмотрим трактрису — плоскую кривую, отрезок касательной к которой между точкой касания и некоторой фиксированной прямой, лежащей в этой же плоскости, имеет постоянную длину (рис. 43).
Выбирая на плоскости 
в качестве этой прямой ось 
получаем уравнения трактрисы
Исключив параметр 
, приходим к явному уравнению 
При вращении трактрисы вокруг оси 
получаем поверхность вращения, называемую псевдосферой (рис. 44). 
Ее параметрические уравнения имеют следующий вид:
Рис. 44. Псевдосфера — поверхность постоянной отрицательной кривизны
Первая и вторая квадратичные формы псевдосферы равны соответственно
Гауссова кривизна К псевдосферы постоянна и равна:
кривую 
заданную уравнениями (рис. 39)
вокруг оси 
получаем поверхность вращения 5. Линии пересечения поверхности вращения 
с плоскостями, содержащими ось вращения 
называются меридианами поверхности вращения, а с плоскостями, ортогональными оси 
параллелями (рис. 40).
