1°. Определение тензора
Развивая замеченное сходство в способах задания векторов, операторов и форм (при помощи упорядоченных наборов чисел) и формулах их преобразования (при переходе к другому базису), введем основное понятие тензора.
Определение. Будем говорить, что в 
-мерном линейном пространстве 
задан тензор 
типа 
если
1) для каждого базиса 
указывается упорядоченный набор 
чисел
компонент (координат) тензора в базисе 
2) для набора компонент
тензора 
в базисе 
справедливо представление
— закон преобразования компонент тензора 
(все индексы, по которым ведется суммирование, независимо изменяются от 1 до 
Нетрудно заметить, что место каждого индекса у компонент тензора (вверху или внизу) связано с законом преобразования.
Верхние индексы у компонент тензора называются контравариантными индексами, а нижние — ко вариантными.
Тензор
является 
раз контравариантным и 
раз ковариантным. Его ранг равен 
Из закона преобразования (5) компонент тензора вытекает, что если все компоненты тензора в некотором базисе равны нулю, то они будут нулевыми и во всех других базисах.
Примеры тензоров.
1. Скаляр-тензор типа 
2. Сравнивая формулы, приведенные в табл. 2, с законом преобразования компонент тензора, убеждаемся в том, что:
вектор является тензором типа 
линейная форма — тензором типа 
линейный оператор — тензором типа 
билинейная форма — тензором типа 
3. Символ Крокекера 
тензор типа 
Запишем закон преобразования компонент тензора 
короче:
где 
а символ 
означает, что суммирование проводится по каждому из индексов 
независимо изменяющихся от 1 до 
Заметим, что выбор букв для обозначения индексов суммирования в формуле (6) произволен, однако они должны быть различны.
Закон преобразования (6) будем называть тензорным законом типа 
.
Выразим компоненты тензора 
в базисе 
через его компоненты в базисе 
.
УТВЕРЖДЕНИЕ. Справедлива формула
Преобразуем выражение, стоящее в правой части доказываемой формулы (7), пользуясь законом (6)
