2°. Свойства операции ковариантного дифференцирования

Посмотрим, как введенная операция преобразует линейную комбинацию тензоров и произведение тензоров.

Справедливы следующие формулы:

где к и произвольные постоянные.

1-е свойство следует из определения операции Достаточно записать выражения для ковариантных производных тензоров умножить полученные соотношения на соответственно и сложить результаты.

Докажем второе свойство.

Положим

Тогда по определению операции V получаем

Отсюда с учетом формулы (7) вытекает требуемое:

Приведенную формулу следует понимать так: в левой части свертывание производится после дифференцирования, а в правой — до дифференцирования.

Начнем с левой части. Имеем

Сумма отмеченных курсивом слагаемых равна нулю (они различаются только обозначениями индексов суммирования). Это позволяет записать левую часть рассматриваемой формулы в следующем виде:

Вглядимся в первую часть полученной формулы.

Она представляет собой ковариантную производную от свернутого тензора составленную по общей схеме (1).