4°. Движение точки в центральном поле сил

Пусть поле сил имеет вид

где скалярная функция.

Такое поле сил называется центральным. В случае центрального поля сил движение точки происходит так, что в любой момент времени линия действия силы, приложенной к переменной точке, проходит через одну и ту же точку (начало координат).

Найдем некоторые качественные характеристики траектории точки, движущейся под воздействием центрального поля сил.

Согласно правилу (13) закон движения (7) имеет вид

Умножая обе части этого соотношения векторно на и учитывая», что найдем

или, иначе

Отсюда вследствие соотношения

получаем, что

т. е.

Умножим обе части соотношения (15) скалярно на вектор . С учетом равенства получим

Таким образом, мы видим, что траектория точки, движущейся под воздействием центрального поля сил, расположена в плоскости, перпендикулярной вектору С.

Итак, любая траектория точки, движущейся под воздействием центрального поля сил, — плоская кривая.

Справедливо следующее утверждение (теорема Альфана если любая траектория материальной точки, движущейся в постоянном (не зависящим от времени) поле сил, представляет собой плоскую кривую, то это поле сил является центральным.