2°. Достаточные условия соприкосновения

Пусть кривая класса в окрестности точки вектор кривой (точка отвечает значению параметра).

Выберем координатную систему так, чтобы точка стала началом координат, ось абсцисс совпадала с касательной к кривой L в точке а ее направление — с направлением вектора Обозначим через I абсциссу точки на этой оси, близкой к точке (мы ограничим наши рассмотрения той окрестностью точки на кривой в которой и которая однозначно проектируется на касательную (рис. 27).

ЛЕММА. В некоторой окрестности точки на кривой L абсцисса I точки проекции точки на ось может быть принята за параметр кривой при этом L будет кривой класса

Пусть единичный орт оси сонаправленный вектору . Ясно, что

Отсюда

в некоторой окрестности точки Следовательно, в этой окрестности строго монотонная функция, имеющая обратную Поэтому абсцисса I может быть принята за параметр на кривой Из явного вида функции следует, что это функция того же класса гладкости, что и Поэтому и скалярная функция принадлежит классу

Таким образом, выбирая I за параметр на кривой получаем, что векторная функция принадлежит тому же классу гладкости, что и векторная функция

Обратимся теперь к регулярным кривым соприкасающимся в точке Выберем за параметр на кривых абсциссу I точки общей проекции на ось точек рассматриваемых кривых (рис. 28).

Рис. 28. Кривые имеют в точке общую касательную

Пусть векторы кривых а точка отвечает значению т. е. .

ТЕОРЕМА 9. Пусть векторные функции класса в окрестности начальной точки Если

то кривые имеют в точке порядок соприкосновения не ниже Если, кроме того, то порядок соприкосновения кривых равен

Докажем сначала первую часть теоремы. Для этого исследуем предел

В данном случае длина отрезка равная формуле Тейлора для разности с центром разложения имеем

Первая разность в фигурных скобках равна нулю, поскольку общая точка кривых и отвечает значению По условию теоремы (см. равны нулю и остальные выражения в фигурных скобках. Поэтому

Обращаясь к интересующему нас пределу (1), получаем, что

Таким образом, при выполнении условий (3) порядок соприкосновения кривых в точке не ниже

Перейдем к доказательству второй части теоремы, где наряду с соотношениями (3) выполняется неравенство Вновь обращаясь к формуле Тейлора, получаем

Отсюда следует, что

Это означает, что порядок соприкосновения кривых в точке равен

Замечание. Если векторные функции класса в окрестности и для любого выполняется равенство

то кривые имеют в точке бесконечный порядок соприкосновения.

Действительно, в этом случае

для любого