ГЛАВА 4. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

Рассказанное в предыдущей главе, обдумывание введенного там понятия метрического тензора и его свойств, некоторые другие наблюдения приводят нас к довольно естественному вопросу: нельзя ли, задав произвольно дважды ковариантный симметричный невырожденный тензор, связать с ним определенную геометрию наподобие евклидовой геометрии.

Оказывается, это вполне возможно — задание произвольной метрики позволяет построить вполне содержательную геометрию.

Основным объектом этой главы являются римановы пространства. В этих пространствах, геометрия которых может весьма существенно отличаться от геометрии евклидовых пространств, возникают содержательные понятия, устанавливаются глубокие связи между ними, доказываются интересные теоремы. Часть подучаемых свойств удивительным образом оказывается уже знакомой из главы 2, посвященной теории поверхностей, что еще более подчеркивают взятые оттуда поясняющие примеры.

Отличие римановых пространств от евклидовых часто оказывается весьма значительным. Впрочем, евклидовы пространства сами являются частным случаем римановых (когда тензор Римана-Кристоффеля тождественно равен нулю).

И еще об одном. Привлекаемый к изложению этой главы геометрический язык позволяет глубже осмыслить формулы, полученные в конце предыдущей главы.

§ 1. РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО

1°. Определение римановой метрики

Пусть открытое множество из пространства Рассмотрим во множестве поле симметричного тензора

где координаты точки Подчиним поле следующему требованию:

квадратичная дифференциальная форма

(квадратичная форма от дифференциалов координат) в каждой точке множества

1) невырождена и

2) имеет постоянную сигнатуру (нормальный вид квадратичной формы (1) не зависит от выбора точки из множества

Форму (1) обозначают через

и называют линейным элементом.

При этом говорят, что форма (2) определяет в открытом множестве риманову метрику. Поясним, что под этим понимается.

Рассмотрим в области гладкую кривую определяемую параметрическими уравнениями

Длину кривой L определим посредством соотношения

Таким образом, при помощи линейного элемента (2) в области можно вычислять длины кривых.

Это и означает, что форма (2) определяет метрику в области

Впервые такой способ введения метрики был предложен Риманом в 1854 г.

Множество точек из пространства в котором введена риманова метрика, называется -мерным римановым пространством. Будем обозначать его через

Тензор определяющий риманову метрику, называется метрическим тензором риманова пространства.

В римановых пространствах можно построить содержательную геометрию — риманову геометрию. Эти пространства находят широкое применение в механике и физике.

Обычно римановыми пространствами называют пространства, в которых метрика определяется положительной формой (1). Если же форма (1) является знакопеременной, то пространство называют псевдоримановым.

Мы ограничимся подробным рассмотрением римановых пространств с положительно определенной формой.