2°. Риманова метрика
Задать на гладком многообразии 
риманову метрику — это значит задать на многообразии 
гладкое тензорное поле 
типа обладающее следующими свойствами:
1) поле 
симметрично, 
2) поле 
положительно определено.
Покажем, что на всяком гладком многообразии такая метрика всегда существует.
Пусть 
атлас многообразия 
карта из К и
— соответствующее координатное отображение.
В пространстве 
в координатах 
задаем какую-нибудь метрику, например каноническую:
Пусть 
гладкое разбиение единицы, подчиненное покрытию 
Положим
Тензорное поле 
является гладким, симметричным и положительно определенным.
