2°. Достаточные условия существования соприкасающейся плоскости

ТЕОРЕМА 4. Пусть радиус-вектор кривой точка этой кривой, отвечающая значению параметра. Тогда если векторы неколлинеарны, то в точке существует соприкасающаяся плоскость к кривой причем вектор нормали к этой плоскости.

Покажем, что вектор

нормали к переменной плоскости ям имеет при пределом вектор Согласно замечанию предыдущего пункта предельный вектор и будет вектором нормали к соприкасающейся плоскости .

Проведем некоторые преобразования вектора нормали к плоскости ям. По формуле Тейлора имеем

Поэтому

где

Поделим обе части соотношения (1) на Переходя к пределу при т. е. при получим, что

Замечание. Соприкасающейся плоскости можно придать и механический смысл. В начале главы мы говорили о том, что параметрическое (а следовательно, и векторное) задание кривой L может быть интерпретировано как закон механического движения точки по траектории Тогда вектор скорости движущейся точки, а вектор ее ускорения. Оба этих вектора расположены в соприкасающейся плоскости — вектор ее нормали). А так как определение соприкасающейся плоскости не зависит от выбора параметризации (инвариантно), то эту плоскость можно рассматривать как плоскость ускорений, при любом законе движения точки по кривой L вектор ее ускорения расположен в одной и той же плоскости — соприкасающейся плоскости к кривой L в точке

Пусть вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости . Тогда векторы будучи отложены от точки расположатся в соприкасающейся плоскости (рис. 17). Поэтому их смешанное произведение будет равно нулю:

Формула (2) — уравнение соприкасающейся плоскости кривой L в точке

Запишем уравнение (2) в координатах.

Если х, у, z - координаты вектора координаты вектора то соотношение (2) можно записать так: