§ 6. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
Так называется раздел геометрии, в котором изучаются свойства поверхности, зависящие только от длин кривых на поверхности. Как показано в § 3 этой главы, для регулярных поверхностей это свойства, определяемые первой квадратичной формой. Тем самым объектами внутренней геометрии поверхности являются длина кривой на поверхности, угол между кривыми на поверхности, площадь области на поверхности, гауссова кривизна поверхности.
Здесь мы рассмотрим новые объекты внутренней геометрии поверхности.
1°. Геодезическая кривизна кривой на поверхности
Как было показано в § 4, п. 3°, геодезическая кривизна 
кривой 2 в данной точке поверхности 
может быть вычислена по формуле
где 
единичные векторы касательной кривой 
и главной нормали соответственно, 
кривизна кривой 
единичный вектор нормали к поверхности 
Векторы 
можно выразить через производные радиус-вектора
кривой 
при помощи следующих формул:
С учетом этих соотношений формулу для геодезической кривизны 
можно записать так:
Если
— радиус-вектор поверхности 
и
— параметрические уравнения кривой 
на поверхности 
то
Вычислим производные радиус-вектора кривой 
пользуясь последним соотношением. Имеем
Применяя к производным 
в правой части равенства (3) деривационные формулы (3) § 5, получим для гследующее выражение:
Здесь
Формулы (1), (2) и (4) позволяют найти для геодезической кривизны 
новое выражение
Отсюда, замечая, что
и
получим следующую формулу:
Так как символы Кристоффеля выражаются только через коэффициенты первой квадратичной формы, то то же справедливо и для геодезической кривизны 
кривой на регулярной поверхности.
Тем самым геодезическая кривизна кривой на поверхности является объектом внутренней геометрии поверхности.
