3°. Разбиение единицы

Пусть гладкое многообразие.

Носителем функции

заданной на многообразии называется замыкание множества точек из в которых

Пример 1. Рассмотрим функцию

заданную на прямой (рис. 21). Она имеет непрерывные частные производные всех порядков (является гладкой на ее носитель совпадает с отрезком

Рис. 21. Бесконечно дифференцируемая финитная функция

Рис. 22. Так располагаются множества покрытия и носители функций, дающие разбиение единицы

Пример 2. Пользуясь предыдущим примером, нетрудно построить гладкую на функцию носитель которой совпадает с «-мерным замкнутым шаром

Достаточно положить

Пусть открытое покрытие многообразия Определение. Система гладких функций

называется (гладким) разбиением единицы, подчиненным покрытию если она обладает следующими свойствами:

ТЕОРЕМА 1. Пусть гладкое многообразие и атлас на Тогда существует гладкое разбиение единицы, подчиненное покрытию (рис. 22).

Доказательство проведем для случая, когда компактно. Поэтому можно считать, что атлас состоит из конечного числа карт. Кроме того, для любой карты из множество - -мерный открытый шар с центром в точке О и радиусом

Выберем так, чтобы множества также покрывали (рис. 23).

Рис. 23. Построение одного элемента разбиения единицы

Положим

Функции обладают следующими свойствами:

4) - гладкие функции на многообразии

Поэтому функции

образуют требуемое разбиение.