2°. Аффинные координаты

Определение. Координатным репером в пространстве называется совокупность

составленная из некоторой точки О пространства и базиса

пространства

Выбор точки отсчета О позволяет связать каждую точку пространства с ее радиус-вектором

Разложим вектор по базису

Аффинными координатами точки относительно заданного репера будем называть координаты ее радиус-вектора (рис. 3).

Рис. 3. Координатный репер

По предложенному выше правилу каждой точке пространства ставится во взаимно однозначное соответствие упорядоченный набор чисел — координаты этой точки.

Таким образом, заданием координатного репера в пространстве вводится система координат — аффинная координатная система.

Рассмотрим в пространстве другой координатный репер Раскладывая радиус-вектор той же точки по базису

находим ее координаты в координатной системе, определяемой репером

Построим формулы, связывающие координаты и произвольной точки

Пусть

Из формул (1) и (2) получаем, что

и, далее,

В силу единственности разложения вектора по базису отсюда вытекает, что

Аналогичным рассуждением, выражая векторы через векторы

из равенства (3) получаем, что

Напомним, что элементы матриц связаны соотношением

где символ Кронекера.

Таким образом, при переходе от координатной системы, определяемой репером к координатной системе, определяемой репером координаты произвольной точки преобразуются так же, как и координаты ее радиуса-вектора, т. е. по правилу (4) или равносильному ему правилу (5).

Замечание. Если при переходе от одной координатной системы к другой начало отсчета изменяется, то координаты точки преобразуются так:

(здесь координаты точки, начала отсчета одной координатной системы относительно другой).