ГЛАВА 3. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

(Аппарат римановой геометрии)

Приступая к изучению нового понятия, не всегда целесообразно рассматривать его сразу в максимальной общности. Часто оказывается разумным начать с простых, но вместе с тем и достаточно общих ситуаций. Перенос установленных фактов в последовательно усложняющиеся обстоятельства позволяет, развивая полученные сведения вглубь и вширь, одновременно решать две задачи: 1) более глубокого усвоения открытых ранее свойств, 2) расширения области применимости разработанных методов.

Именно так мы и поступим при изложении основ тензорного исчисления. Основное понятие тензора вводится первоначально в линейном (векторном) пространстве, где строятся и изучаются алгебраические операции над тензорами. Затем мы обращаемся к изучению тензоров в точечном (аффинном) пространстве, отнесенном сначала к прямолинейным, а потом и к криволинейным координатам. Переход к криволинейным координатам усиливает эффективность построенного аппарата и раздвигает область его применения, в частности позволяет ввести важную операцию ковариантного дифференцирования. Завершающим шагом является построение основ тензорного анализа в арифметическом (координатном) пространстве.

А. ЛИНЕЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

§ 1. ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА

0°. Примеры

В курсе линейной алгебры значительное внимание уделяется изучению таких геометрических объектов в линейных пространствах, каковыми являются векторы, линейные операторы, линейные и билинейные формы. Фиксируя в -мерном линейном пространстве базис мы ставим в соответствие каждому из этих объектов (вектору, линейной форме, линейному оператору, билинейной форме) упорядоченный набор чисел — его координат (компонент).

Координаты х произвольного вектора х определяются путем его разложения по базису

Компоненты линейного оператора А определяются путем разложения образов базисных векторов:

Подобным же образом находятся компоненты линейной формы и компоненты билинейной формы

Составим таблицу

Таблица 1 (см. скан)

Заметим, что каждый из рассматриваемых геометрических объектов задается упорядоченным набором или чисел.

При переходе от одного базиса к другому эти числа изменяются. Напомним, как это происходит.

Пусть другой базис пространства. Тогда имеют место формулы

и для любых подчиненных условию выполняются соотношения

где

— символ Кронекера

Обозначим для удобства компоненты рассматриваемых геометрических объектов относительно нового базиса теми же буквами, но со штрихом слева вверху. Тогда законы преобразования компонент можно записать так:

Таблица 2 (см. скан)

Таким образом, для произвольного базиса каждый из указанных выше геометрических объектов задается упорядоченным набором (I равно 1 или 2) чисел, изменяющихся при переходе к другому базису по определенным правилам (единым для объектов одной природы).

Интересно отметить, что правила преобразования компонент рассматриваемых геометрических объектов можно принять за их определения.

Покажем это, обратившись, например, к линейным операторам.

В курсе линейной алгебры линейный оператор А определяется обыкновенно как отображение линейного пространства в себя переводящее линейную комбинацию векторов в линейную комбинацию их образов:

Изучая свойства линейного оператора, приходим к его матрице элементы которой определяются из соотношений

а при переходе к другому базису преобразуются по правилу

Известно, что линейный оператор однозначно определяется своим действием на базисные векторы. Поэтому, задавая матрицу

и закон (4) преобразования ее элементов, при фиксированном базисе пользуясь формулами (3), можно построить и притом ровно один линейный оператор.

Замечание. Некоторые геометрические объекты, вычисление которых требует задания базиса, от выбора базиса вообще не зависят. Таковыми являются, например, ранг, след и определитель линейного оператора, ранг и индекс билинейной формы и др.