4°. Дифференцируемость векторной функции и касательная плоскость

Пусть векторное уравнение простой поверхности Иными словами, — годограф векторной функции т. е. множество концов всех векторов откладываемых от начальной точки .

Будем считать, что эта функция дифференцируема в точке Обозначим через точку поверхности отвечающую а через X — точку, отвечающую

По условию дифференцируемости векторной функции в точке имеем

где

Рис. 16. При угол между прямой и вектором стремится к

Отложим векторы от точки (считая, что по крайней мере один из этих векторов ненулевой) и проведем через точку плоскость содержащую векторы Если векторы коллинеарны, то рассмотрим какую-либо из плоскостей, проходящих через точку и эти векторы.

Убедимся в том, что касательная плоскость к поверхности.

Для этого достаточно показать, что угол между прямой и нормалью к плоскости стремится к Составим скалярное произведение вектора и единичного вектора нормали

Из формулы (4) получим, что

где

Так как составленное скалярное произведение стремится к нулю, то угол между прямой и нормалью к поверхности стремится к прямому. Это и означает, что плоскость касательная к поверхности в точке

Итак, дифференцируемость векторной функции в точке означает, что в точке поверхности заданной векторным уравнением существует касательная плоскость.