4°. Формула Стокса
Эта формула связывает интеграл по многообразию с интегралом, взятым по его границе. Как частные случаи она включает в себя такие известные формулы классического анализа, как формула Грина, формула Стокса, формула Гаусса — Остроградского.
ТЕОРЕМА 8. Пусть 
-мерное ориентированное многообразие с краем 
внешняя дифференциальная форма степени 
с компактным носителем. Тогда
(ориентация края 
согласована с ориентацией многообразия 
).
Пусть 
покрытие многообразия 
координатными окрестностяим 
подчиненное этому покрытию разбиение единицы. Так как носитель формы 
компактен, то он пересекается лишь с конечным числом 
носителей функций 
Тем самым
где
Отсюда следует, что
Из последних двух равенств видно, что формулу Стокса достаточно доказать для случая, когда виррф целиком лежит в координатной окрестности 
Пусть 
локальные координаты в 
и
(функции 
— имеют компактные носители). Тогда
Без ограничения общности можно считать, что 
т. е. что функции 
определены в полупространстве 
(рис. 39).
Так как обе части доказываемого равенства линейны относительно интегрируемых форм, то достаточно рассмотреть форму вида
Рис. 39. Координатной окрестности 
соответствует открытое полупространство 
где 
функция с компактным носителем, определенная в полупространстве 
Тогда
Рассмотрим два случая.
1. 
. Ограничение формы 
на край 
равно нулю вследствие того, что 
значит, 
Поэтому
С другой стороны,
Переходя к повторному интегралу, получаем
Так как функция 
имеет в 
компактный носитель, то
Поэтому
2. 
. Имеем
и
Поэтому
Пример 1. Пусть К — компактное множество на плоскости 
с гладкой границей — кривой 
Если
где 
гладкие функции в некотором открытом множестве 
содержащем К, то
(формула Грина) 
Пример 2. Пусть 
ориентированная гладкая поверхность в 
компактное множество с гладкой границей. Обозначим координаты в пространстве 
через 
Если
где 
- гладкие, функции переменных х, у, z в окрестности 
то
(формула Стокса).
Пример 3. Пусть 
компактное подмножество пространства 
граница 
которого — гладкая поверхность в 
Если
— 
-форма, коэффициенты 
которой — гладкие функции переменных х, у, z в окрестности К, то
(формула Гаусса — Остроградского).
