§ 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ

1°. Параллельный перенос векторов в евклидовом пространстве

Пусть криволинейные координаты в -мерном евклидовом пространстве Радиус-вектор точки из пространства обозначим через х (О — начальная точка). Векторы

образуют в точке базис. Этот базис зависит от точки, т. е. от координат

Рассмотрим в пространстве некоторый вектор Будем переносить вектор параллельно самому себе вдоль кривой заданной параметрическими уравнениями

Так как в каждой точке этой кривой существует свой базис

то координаты (постоянного) вектора при переходе от точки к точке кривой (1) будут меняться (рис. 2).

Рис. 2. Параллельный перенос вектора вдоль кривой

Выясним характер изменения этих координат. Вследствие того, что вектор постоянный, имеем

Отсюда, пользуясь разложением

получаем, что

Далее,

Разложив векторы по базису

из формулы (3) найдем, что

Преобразуем равенство (2).

В первой группе слагаемых заменим индекс суммирования на во второй группе заменим дифференциалы их выражениями (5). В результате получим

Вследствие линейной независимости векторов все коэффициенты в последнем разложении равны нулю:

Рассмотрим полученные соотношения (6).

Входящие в них величины уже знакомы нам (см. формулу (1) пункта 1 § 8 главы 3). Это символы Кристоффеля 2-го рода. Их называют также коэффициентами связности — они связывают координаты вектора в точке с координатами этого вектора в близкой точке

Соотношения (6) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых неизвестными являются координаты вектора параллельно переносимого вдоль кривой, Интегрируя эту систему, находим координаты вектора в произвольной точке кривой (в базисе ).

В дальнейшем соотношения (6) мы будем называть уравнениями параллельного переноса вектора.

Замечание. При переходе к другой криволинейной системе координат система (6) уравнений параллельного переноса вектора изменяется. Будут меняться и символы Кристоффеля. Характер их изменения подробно освещен в § 8 главы 3 (см. 1°). Там же (3° § 8) получены формулы, по которым символы Кристоффеля рода и символы Кристоффеля рода выражаются через компоненты метрического тензора

По мере необходимости мы будем пользоваться этими формулами.